7. (4.0分) 设有矩阵A=}lambda&00&lambda

本题考查矩阵的幂运算。解题思路是根据矩阵乘法的运算法则，逐步计算矩阵$A$的三次方。

已知矩阵$A=\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}$，要求$A^3$，可先计算$A^2 = A\times A$，再计算$A^3 = A^2\times A$。

步骤一：计算$A^2$

根据矩阵乘法规则，若有矩阵$M=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}$，$N=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}$，则$M\times N=\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{bmatrix}$。
对于$A^2 = A\times A=\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}$，计算如下：
$A^2=\begin{bmatrix}\lambda\times\lambda + 0\times0&\lambda\times0 + 0\times\lambda\\0\times\lambda + \lambda\times0&0\times0 + \lambda\times\lambda\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda^2&0\\0&\lambda^2\end{bmatrix}$

步骤二：计算$A^3$

$A^3 = A^2\times A=\begin{bmatrix}\lambda^2&0\\0&\lambda^2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{bmatrix}$
同样根据矩阵乘法规则计算：
$A^3=\begin{bmatrix}\lambda^2\times\lambda + 0\times0&\lambda^2\times0 + 0\times\lambda\\0\times\lambda + \lambda^2\times0&0\times0 + \lambda^2\times\lambda\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda^3&0\\0&\lambda^3\end{bmatrix}$