题目
C-|||-A-|||-D M B E-|||-N-|||-A F在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a（0＜a＜sqrt(2)）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a（0＜a＜$\sqrt{2}$）．（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；
（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．
题目解答
答案
解：如图建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），
∵CM=BN=a，∴M（$\frac{a}{\sqrt{2}}$，0，1-$\frac{a}{\sqrt{2}}$），N（$\frac{a}{\sqrt{2}}$，$\frac{a}{\sqrt{2}}$，0）．
（Ⅰ）$|MN|=\sqrt{（\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}+（0-\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}+（1-\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{2}a+1}$；
（Ⅱ）$|MN|=\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{2}a+1}$=$\sqrt{（a-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$，
当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|MN|最小，最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，
则M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），取MN的中点G，连接AG，BG，
则G（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$），
∵AM=AN，BM=BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，
∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．
∵$\overrightarrow{GA}=（\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}，\frac{1}{4}）$，$\overrightarrow{GB}=（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}，-\frac{1}{4}）$，
∴cos＜$\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{GB}$＞=$\frac{\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{GB}}{|\overrightarrow{GA}|•|\overrightarrow{GB}|}=\frac{-\frac{1}{4}}{\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}•\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{4}）^{2}+（-\frac{1}{4}）^{2}}}$=$-\frac{1}{3}$．
∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是$\frac{1}{3}$．
A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），
∵CM=BN=a，∴M（$\frac{a}{\sqrt{2}}$，0，1-$\frac{a}{\sqrt{2}}$），N（$\frac{a}{\sqrt{2}}$，$\frac{a}{\sqrt{2}}$，0）．
（Ⅰ）$|MN|=\sqrt{（\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}+（0-\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}+（1-\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{2}a+1}$；
（Ⅱ）$|MN|=\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{2}a+1}$=$\sqrt{（a-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$，
当a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|MN|最小，最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，
则M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），取MN的中点G，连接AG，BG，
则G（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$），
∵AM=AN，BM=BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，
∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．
∵$\overrightarrow{GA}=（\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}，\frac{1}{4}）$，$\overrightarrow{GB}=（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{4}，-\frac{1}{4}）$，
∴cos＜$\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{GB}$＞=$\frac{\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{GB}}{|\overrightarrow{GA}|•|\overrightarrow{GB}|}=\frac{-\frac{1}{4}}{\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}•\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{4}）^{2}+（-\frac{1}{4}）^{2}}}$=$-\frac{1}{3}$．
∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是$\frac{1}{3}$．
解析
步骤 1：建立坐标系
在给定的正方形框架ABCD和ABEF中，建立空间直角坐标系，设A为原点，即A（0，0，0），则C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0）。
步骤 2：确定M和N的坐标
由于CM=BN=a，且M在AC上，N在BF上，所以M的坐标为（$\frac{a}{\sqrt{2}}$，0，1-$\frac{a}{\sqrt{2}}$），N的坐标为（$\frac{a}{\sqrt{2}}$，$\frac{a}{\sqrt{2}}$，0）。
步骤 3：计算MN的长度
利用两点间距离公式计算MN的长度，即$|MN|=\sqrt{（\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}+（0-\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}+（1-\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{2}a+1}$。
步骤 4：求MN长度的最小值
将$|MN|=\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{2}a+1}$化简为$|MN|=\sqrt{（a-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$，当$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|MN|最小，最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
步骤 5：计算平面MNA与平面MNB夹角的余弦值
当MN最短时，M，N为中点，M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），取MN的中点G，连接AG，BG，G（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$），利用向量的点积计算cos＜$\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{GB}$＞=$\frac{\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{GB}}{|\overrightarrow{GA}|•|\overrightarrow{GB}|}$=$-\frac{1}{3}$，所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是$\frac{1}{3}$。
在给定的正方形框架ABCD和ABEF中，建立空间直角坐标系，设A为原点，即A（0，0，0），则C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0）。
步骤 2：确定M和N的坐标
由于CM=BN=a，且M在AC上，N在BF上，所以M的坐标为（$\frac{a}{\sqrt{2}}$，0，1-$\frac{a}{\sqrt{2}}$），N的坐标为（$\frac{a}{\sqrt{2}}$，$\frac{a}{\sqrt{2}}$，0）。
步骤 3：计算MN的长度
利用两点间距离公式计算MN的长度，即$|MN|=\sqrt{（\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}+（0-\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}+（1-\frac{a}{\sqrt{2}}）^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{2}a+1}$。
步骤 4：求MN长度的最小值
将$|MN|=\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{2}a+1}$化简为$|MN|=\sqrt{（a-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}$，当$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|MN|最小，最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
步骤 5：计算平面MNA与平面MNB夹角的余弦值
当MN最短时，M，N为中点，M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），取MN的中点G，连接AG，BG，G（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$），利用向量的点积计算cos＜$\overrightarrow{GA}，\overrightarrow{GB}$＞=$\frac{\overrightarrow{GA}•\overrightarrow{GB}}{|\overrightarrow{GA}|•|\overrightarrow{GB}|}$=$-\frac{1}{3}$，所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是$\frac{1}{3}$。