lim_(xtoinfty)(xsin(2)/(x)+(sin2x)/(x))=( )A. 4B. 3C. 2D. 1

本题考查极限的计算，解题思路是将原式拆分成两个极限的和，分别计算这两个极限，最后将结果相加。

步骤一：拆分极限

根据极限的加法法则$\lim\limits_{x \to a}(f(x)+g(x)) = \lim\limits_{x \to a}f(x) + \lim\limits_{x \to a}g(x)$，将原式$\lim\limits_{x\to\infty}(x\sin\frac{2}{x}+\frac{\sin2x}{x})$拆分成$\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{2}{x}+\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin2x}{x}$。

步骤二：计算$\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{2}{x}$

令$t = \frac{1}{x}$，当$x\to\infty$时，$t\to 0$，则$\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{2}{x}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{\sin2t}{t}$。
根据等价无穷小$\sin u\sim u$（$u\to 0$），当$t\to 0$时，$\sin2t\sim 2t$，所以$\lim\limits_{t\to 0}\frac{\sin2t}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{2t}{t}= 2$。

步骤三：计算$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin2x}{x}$

因为$\vert\sin2x\vert\leqslant 1$，即$\sin2x$是有界函数，而$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}= 0$，根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin2x}{x}= 0$。

步骤四：计算原式极限

将上述两个极限的结果相加，可得$\lim\limits_{x\to\infty}(x\sin\frac{2}{x}+\frac{\sin2x}{x})=\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{2}{x}+\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin2x}{x}= 2 + 0 = 2$。