关于初等矩阵，正确的说法有:A. 初等矩阵都是可逆的B. 初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵C. 初等矩阵相乘必定是初等矩阵D. 任意矩阵经过初等行变换都可表示为初等矩阵的乘积

本题主要考查初等矩阵的基本性质，解题思路是根据初等矩阵的定义、可逆性、逆矩阵以及与初等行变换的关系，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

• 初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。
• 单位矩阵 $E$ 是可逆的，且 $E^{-1}=E$。
• 对单位矩阵进行初等变换得到初等矩阵，而初等变换是可逆的操作。
• 例如，交换单位矩阵 $E$ 的两行得到初等矩阵 $P_{ij}$，其逆变换就是再交换这两行，即 $P_{ij}^{-1}=P_{ij}$；用非零数 $k$ 乘单位矩阵 $E$ 的某一行得到初等矩阵 $D_i(k)$，其逆变换是用 $\frac{1}{k}$ 乘这一行，即 $D_i(k)^{-1}=D_i(\frac{1}{k})$；将单位矩阵 $E$ 的某一行的 $k$ 倍加到另一行得到初等矩阵 $T_{ij}(k)$，其逆变换是将这一行的 $-k$ 倍加到另一行，即 $T_{ij}(k)^{-1}=T_{ij}(-k)$。
• 所以，初等矩阵都是可逆的，选项A正确。

选项B

• 由上述对选项A的分析可知，交换单位矩阵两行得到的初等矩阵 $P_{ij}$ 的逆矩阵 $P_{ij}^{-1}=P_{ij}$，仍是初等矩阵；用非零数 $k$ 乘单位矩阵某一行得到的初等矩阵 $D_i(k)$ 的逆矩阵 $D_i(k)^{-1}=D_i(\frac{1}{k})$，仍是初等矩阵；将单位矩阵某一行的 $k$ 倍加到另一行得到的初等矩阵 $T_{ij}(k)$ 的逆矩阵 $T_{ij}(k)^{-1}=T_{ij}(-k)$，仍是初等矩阵。
• 因此，初等矩阵的逆矩阵仍是初等矩阵，选项B正确。

选项C

• 设 $P_{12}$ 是交换单位矩阵 $E$ 的第一行和第二行得到的初等矩阵，$D_1(2)$ 是用 $2$ 乘单位矩阵 $E$ 的第一行得到的初等矩阵。
• 则 $P_{12}=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，$D_1(2)=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。
• 计算它们的乘积 $P_{12}D_1(2)=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1&0\\2&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。
• 这个乘积矩阵不能由单位矩阵经过一次初等变换得到，所以不是初等矩阵。
• 故初等矩阵相乘不一定是初等矩阵，选项C错误。

选项D

• 根据矩阵的初等行变换理论，对一个矩阵 $A$ 进行初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘以相应的初等矩阵。
• 设矩阵 $A$ 经过一系列初等行变换化为矩阵 $B$，这些初等行变换对应的初等矩阵分别为 $P_1,P_2,\cdots,P_s$，则有 $B = P_s\cdots P_2P_1A$。
• 所以，任意矩阵经过初等行变换都可表示为初等矩阵的乘积，选项D正确。