题目
设总体X的方差1,取容量100的样本,得样本均值overline (x)=5,,则总体均值overline (x)=5,,的置信度为0.95的置信区间是()overline (x)=5,,overline (x)=5,,overline (x)=5,,
设总体X的方差1,取容量100的样本,得样本均值
则总体均值
的置信度为0.95的置信区间是()
题目解答
答案
根据中心极限定理，样本均值 
的抽样分布近似服从均值为总体均值
，标准差为总体标准差除以样本容量 
的正态分布。
给定样本均值 
和总体方差
样本容量 
。由于总体均值 的置信度为 0.95，所以我们需要在正态分布的基础上计算置信区间。
置信区间的计算公式为：
其中， ( Z ) 是标准正态分布的分位数，对于 95% 的置信度， ( Z ) 大约为 1.96。
代入数据得：
所以正确的答案是选项 B。
解析
步骤 1：确定置信区间的计算公式
根据中心极限定理，样本均值 $\overline {x}$ 的抽样分布近似服从均值为总体均值 $\mu$，标准差为总体标准差除以样本容量 $\sigma/\sqrt{n}$ 的正态分布。置信区间的计算公式为：
\[ \text{置信区间} = \overline {x} \pm z \cdot \frac {\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，$z$ 是标准正态分布的分位数，对于 95% 的置信度，$z$ 大约为 1.96。
步骤 2：代入数据计算置信区间
给定样本均值 $\overline {x} = 5$，总体方差 $\sigma^2 = 1$，样本容量 $n = 100$。代入数据得：
\[ \text{置信区间} = 5 \pm 1.96 \cdot \frac {1}{\sqrt{100}} \]
\[ = 5 \pm 1.96 \times 0.1 \]
\[ = 5 \pm 0.196 \]
\[ = (4.904, 5.096) \]
根据中心极限定理，样本均值 $\overline {x}$ 的抽样分布近似服从均值为总体均值 $\mu$，标准差为总体标准差除以样本容量 $\sigma/\sqrt{n}$ 的正态分布。置信区间的计算公式为：
\[ \text{置信区间} = \overline {x} \pm z \cdot \frac {\sigma}{\sqrt{n}} \]
其中，$z$ 是标准正态分布的分位数，对于 95% 的置信度，$z$ 大约为 1.96。
步骤 2：代入数据计算置信区间
给定样本均值 $\overline {x} = 5$，总体方差 $\sigma^2 = 1$，样本容量 $n = 100$。代入数据得：
\[ \text{置信区间} = 5 \pm 1.96 \cdot \frac {1}{\sqrt{100}} \]
\[ = 5 \pm 1.96 \times 0.1 \]
\[ = 5 \pm 0.196 \]
\[ = (4.904, 5.096) \]