设总体 X 服从参数为 lambda 的指数分布，则 lambda 的矩估计和极大似然估计分别为（）。 A 矩估计 hat(lambda) = X，极大似然估计 hat(lambda) = X B 矩估计 hat(lambda) = (1)/(X)，极大似然估计 hat(lambda) = X C 矩估计 hat(lambda) = (1)/(X)，极大似然估计 hat(lambda) = (1)/(X) D 矩估计 hat(lambda) = X，极大似然估计 hat(lambda) = (1)/(X)

为了确定参数 $\lambda$ 的矩估计和极大似然估计，我们需要分别使用矩估计法和极大似然估计法。下面将分步进行解答。 ### 矩估计法 1. **确定总体的矩：** 总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，其概率密度函数为： \[ f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x > 0 \] 总体的期望（一阶原点矩）为： \[ E(X) = \frac{1}{\lambda} \] 2. **用样本矩估计总体矩：** 设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，样本均值为： \[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \] 根据矩估计法，用样本均值 $\bar{X}$ 估计总体期望 $E(X)$： \[ \bar{X} \approx E(X) = \frac{1}{\lambda} \] 3. **解出 $\lambda$ 的估计量：** 从 $\bar{X} = \frac{1}{\lambda}$ 中解出 $\lambda$： \[ \lambda = \frac{1}{\bar{X}} \] 因此，$\lambda$ 的矩估计量为： \[ \hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}} \] ### 极大似然估计法 1. **写出似然函数：** 似然函数 $L(\lambda)$ 是样本联合概率密度函数，即： \[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^n f(X_i; \lambda) = \prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda X_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n X_i} \] 2. **取对数似然函数：** 为了简化求解，取似然函数的自然对数： \[ \ell(\lambda) = \ln L(\lambda) = \ln (\lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n X_i}) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^n X_i \] 3. **求对数似然函数的导数：** 对 $\ell(\lambda)$ 关于 $\lambda$ 求导： \[ \frac{d \ell(\lambda)}{d \lambda} = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n X_i \] 4. **令导数等于零求解 $\lambda$：** 令导数等于零，解出 $\lambda$： \[ \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^n X_i = 0 \implies \frac{n}{\lambda} = \sum_{i=1}^n X_i \implies \lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i} = \frac{1}{\bar{X}} \] 因此，$\lambda$ 的极大似然估计量为： \[ \hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{X}} \] ### 结论 $\lambda$ 的矩估计量和极大似然估计量都是 $\frac{1}{\bar{X}}$。因此，正确答案是： \[ \boxed{C} \]