题目

设随机变量 X sim B(n, p)，已知 E(X) = 12，D(X) = 6，则下列结论中不正确的是( )A. n = 48，p = (1)/(4)B. n = 16，p = (1)/(3)C. n = 24，p = (1)/(2)D. n = 36，p = (1)/(3)

设随机变量 $X \sim B(n, p)$，已知 $E(X) = 12$，$D(X) = 6$，则下列结论中不正确的是( ) A. $n = 48$，$p = \frac{1}{4}$ B. $n = 16$，$p = \frac{1}{3}$ C. $n = 24$，$p = \frac{1}{2}$ D. $n = 36$，$p = \frac{1}{3}$

题目解答

答案

我们已知随机变量 $ X \sim B(n, p) $，即 $ X $ 服从参数为 $ n $ 和 $ p $ 的二项分布。 ### 二项分布的期望和方差公式： - 期望：$ E(X) = np $ - 方差：$ D(X) = np(1 - p) $ 题目给出： - $ E(X) = 12 $ - $ D(X) = 6 $ --- ### 第一步：利用期望公式 $$ E(X) = np = 12 \tag{1} $$ --- ### 第二步：利用方差公式 $$ D(X) = np(1 - p) = 6 \tag{2} $$ --- ### 第三步：将 (1) 代入 (2) 从 (1) 得到 $ np = 12 $，代入 (2) 得： $$ 12(1 - p) = 6 $$ 解这个方程： $$ 1 - p = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \Rightarrow p = \frac{1}{2} $$ 再代入 $ np = 12 $ 得： $$ n \cdot \frac{1}{2} = 12 \Rightarrow n = 24 $$ --- ### 所以，正确的参数是： - $ n = 24 $ - $ p = \frac{1}{2} $ --- ### 检查选项： A. $ n = 48 $，$ p = \frac{1}{4} $ → $ np = 48 \cdot \frac{1}{4} = 12 $，正确 → $ D(X) = 48 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right) = 48 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = 9 $，**不等于 6，错误** B. $ n = 16 $，$ p = \frac{1}{3} $ → $ np = 16 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \approx 5.33 $，**不等于 12，错误** C. $ n = 24 $，$ p = \frac{1}{2} $ → $ np = 12 $，$ D(X) = 12 \cdot (1 - \frac{1}{2}) = 6 $，**正确** D. $ n = 36 $，$ p = \frac{1}{3} $ → $ np = 36 \cdot \frac{1}{3} = 12 $，正确 → $ D(X) = 36 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 36 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = 8 $，**不等于 6，错误** --- ### 最终结论：题目问的是 **不正确的选项**，因此我们找出哪些选项的 $ np \ne 12 $ 或 $ D(X) \ne 6 $。 - A：$ D(X) = 9 $，**错误** - B：$ E(X) = \frac{16}{3} $，**错误** - C：正确 - D：$ D(X) = 8 $，**错误** --- ### 正确答案是： $$ \boxed{\text{B}} $$ 因为 B 的期望就不对，直接不满足条件。

解析

本题考查二项分布的期望和方差公式的应用。解题思路是先根据二项分布期望和方差的定义公式，结合已知条件列出关于参数 $n$ 和 $p$ 的方程组，求解出 $n$ 和 $p$ 的值，再将各选项中的 $n$ 和 $p$ 代入期望和方差公式进行验证，判断其正确性。

二项分布的期望和方差公式：

期望：$E(X) = np$
方差：$D(X) = np(1 - p)$

已知 $E(X) = 12$，$D(X) = 6$。

第一步：利用期望公式

由 $E(X) = np$，可得 $np = 12$ ①。

第二步：利用方差公式

由 $D(X) = np(1 - p)$，可得 $np(1 - p) = 6$ ②。

第三步：将 ① 代入 ② 求解 $p$

把 $np = 12$ 代入 $np(1 - p) = 6$ 中，得到 $12(1 - p) = 6$。
求解该方程：
$\begin{align*}1 - p&=\frac{6}{12}\\1 - p&=\frac{1}{2}\\p&=1 - \frac{1}{2}\\p&=\frac{1}{2}\end{align*}$

第四步：将 $p$ 的值代入 ① 求解 $n$

把 $p = \frac{1}{2}$ 代入 $np = 12$ 中，可得 $n\times\frac{1}{2} = 12$。
求解该方程：
$\begin{align*}n&=12\times2\\n&= 24\end{align*}$
所以，正确的参数是 $n = 24$，$p = \frac{1}{2}$。

第五步：检查各选项

选项A：当 $n = 48$，$p = \frac{1}{4}$ 时，$np = 48\times\frac{1}{4} = 12$，期望正确；$D(X) = 48\times\frac{1}{4}\times(1 - \frac{1}{4}) = 48\times\frac{1}{4}\times\frac{3}{4} = 9\neq 6$，方差错误。
选项B：当 $n = 16$，$p = \frac{1}{3}$ 时，$np = 16\times\frac{1}{3} = \frac{16}{3}\neq 12$，期望错误。
选项C：当 $n = 24$，$p = \frac{1}{2}$ 时，$np = 24\times\frac{1}{2} = 12$，$D(X) = 12\times(1 - \frac{1}{2}) = 6$，期望和方差都正确。
选项D：当 $n = 36$，$p = \frac{1}{3}$ 时，$np = 36\times\frac{1}{3} = 12$，期望正确；$D(X) = 36\times\frac{1}{3}\times(1 - \frac{1}{3}) = 36\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3} = 8\neq 6$，方差错误。