题目

5.为考察甲、乙两批药品中某种成分的含量（%），现分别从这两批药品中各抽取9个样品进行测定，测得其样本均值和样本方差分别为overline(x)_(1)=76.23，S_(1)^2=3.29和overline(x)_(2)=74.43，S_(2)^2=2.25。假设它们都服从正态分布，试检验甲、乙两批药品中该种成分的含量是否有显著性差异？（α=0.05）

5.为考察甲、乙两批药品中某种成分的含量（%），现分别从这两批药品中各抽取9个样品进行测定，测得其样本均值和样本方差分别为$\overline{x}_{1}=76.23$，$S_{1}^{2}=3.29$和$\overline{x}_{2}=74.43$，$S_{2}^{2}=2.25$。假设它们都服从正态分布，试检验甲、乙两批药品中该种成分的含量是否有显著性差异？（α=0.05）

题目解答

答案

1. **方差齐性检验** 原假设 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$， 检验统计量 $F = \frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{3.29}{2.25} \approx 1.4622$， 查表得 $F_{0.025}(8,8) \approx 4.43$， 因 $F < 4.43$，接受 $H_0$，方差相等。 2. **均值检验** 原假设 $H_0: \mu_1 = \mu_2$， 合并方差 $S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2 + (n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2} = 2.77$， 检验统计量 $t = \frac{\overline{x}_1 - \overline{x}_2}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \approx 2.294$， 查表得 $t_{0.025}(16) \approx 2.12$， 因 $|t| > 2.12$，拒绝 $H_0$，均值有显著差异。 **结论：** 甲、乙两批药品中该种成分的含量有显著性差异。 \[ \boxed{\text{有显著性差异}} \]

解析

本题主要考察两个正态总体均值差异的显著性检验，由于总体方差未知，需要先进行方差齐性检验，若方差齐性成立，再进行均值检验。具体解题思路如下：

  1. 方差齐性检验
    • 提出原假设 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$，备择假设 $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$。
    • 选取检验统计量 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$，在 $H_0$ 成立的条件下，$F\sim F(n_1 - 1,n_2 - 1)$，其中 $n_1=n_2 = 9$，$S_1^2 = 3.29$，$S_2^2 = 2.25$。
    • 计算检验统计量的值：
      $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac{3.29}{2.25}\approx1.4622$
    • 给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验，查 $F$ 分布表得 $F_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 - 1,n_2 - 1)=F_{0.025}(8,8)\approx4.43$。
    • 比较 $F$ 值与临界值：因为 $F = 1.4622<4.43$，所以接受 $H_0$，即认为两总体方差相等。
  2. 均值检验
    • 提出原假设 $H_0: \mu_1 = \mu_2$，备择假设 $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$。
    • 由于方差齐性成立，计算合并方差 $S_p^2$：
      $S_p^2=\frac{(n_1 - 1)S_1^2+(n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}=\frac{(9 - 1)\times3.29+(9 - 1)\times2.25}{9 + 9 - 2}$
      $=\frac{8\times(3.29 + 2.25)}{16}=\frac{8\times5.54}{16}=2.77$
    • 选取检验统计量 $t=\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$，在 $H_0$ 成立的条件下，$t\sim t(n_1 + n_2 - 2)=t(16)$，其中 $\overline{x}_1 = 76.23$，$\overline{x}_2 = 74.43$，$S_p=\sqrt{S_p^2}=\sqrt{2.77}$。
      $t=\frac{\overline{x}_1-\overline{x}_2}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}=\frac{76.23 - 74.43}{\sqrt{2.77}\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{9}}}=\frac{1.8}{\sqrt{2.77}\times\sqrt{\frac{2}{9}}}\approx2.294$
    • 给定显著性水平 $\alpha = 0.05$，双侧检验，查 $t$ 分布表得 $t_{\frac{\alpha}{2}}(n_1 + n_2 - 2)=t_{0.025}(16)\approx2.12$。
    • 比较 $|t|$ 值与临界值：因为 $|t| = 2.294>2.12$，所以拒绝 $H_0$，即认为两总体均值有显著差异。