题目
求指导本题解题过程，谢谢您！12.设总体x_wo4)xx···X是来自X的简单随机样本.-|||-(1) =a({x)_(1)}^2+b(({x)_(2)+(x)_(3))}^2+c(({x)_(4)-(x)_(5))}^2 试确定常数a,b,c的值,使Y服从卡方分布并确定-|||-自由度;-|||-(2) =dfrac (alpha ({X)_(1)+(X)_(2))}(sqrt {{{X)_(3)}^2+({X)_(4)}^2}}, 试确定常数α的值,使Z服从t分布并确定自由度.
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $Y$ 的分布
根据题目，$x_1, x_2, \ldots, x_5$ 是来自 $N(0, 4)$ 的简单随机样本，即每个 $x_i$ 都服从正态分布 $N(0, 4)$。因此，$x_i^2$ 服从 $\chi^2$ 分布，自由度为1，但需要标准化为 $\chi^2$ 分布的自由度为1的形式，即 $x_i^2/4$ 服从 $\chi^2(1)$。因此，$a(x_1^2/4)$ 服从 $\chi^2(a)$。
步骤 2：确定 $b$ 和 $c$ 的值
$(x_2 + x_3)$ 和 $(x_4 - x_5)$ 也服从正态分布，但需要标准化。$(x_2 + x_3)$ 的方差为 $4 + 4 = 8$，因此 $(x_2 + x_3)^2/8$ 服从 $\chi^2(1)$。同理，$(x_4 - x_5)^2/8$ 也服从 $\chi^2(1)$。因此，$b(x_2 + x_3)^2/8$ 和 $c(x_4 - x_5)^2/8$ 分别服从 $\chi^2(b)$ 和 $\chi^2(c)$。
步骤 3：确定 $Y$ 的自由度
$Y = a(x_1^2/4) + b(x_2 + x_3)^2/8 + c(x_4 - x_5)^2/8$ 服从 $\chi^2(a + b + c)$。为了使 $Y$ 服从 $\chi^2$ 分布，$a + b + c$ 必须为整数。因此，$a = 1$，$b = c = 1/8$，自由度为3。
步骤 4：确定 $Z$ 的分布
$Z = \frac{\alpha(x_1 + x_2)}{\sqrt{x_3^2 + x_4^2}}$。由于 $x_1 + x_2$ 服从 $N(0, 8)$，因此 $\frac{x_1 + x_2}{\sqrt{8}}$ 服从 $N(0, 1)$。$\sqrt{x_3^2 + x_4^2}$ 服从 $\chi(2)$。因此，$Z$ 服从 $t$ 分布，自由度为2。为了使 $Z$ 服从 $t$ 分布，$\alpha$ 必须为1。
根据题目，$x_1, x_2, \ldots, x_5$ 是来自 $N(0, 4)$ 的简单随机样本，即每个 $x_i$ 都服从正态分布 $N(0, 4)$。因此，$x_i^2$ 服从 $\chi^2$ 分布，自由度为1，但需要标准化为 $\chi^2$ 分布的自由度为1的形式，即 $x_i^2/4$ 服从 $\chi^2(1)$。因此，$a(x_1^2/4)$ 服从 $\chi^2(a)$。
步骤 2：确定 $b$ 和 $c$ 的值
$(x_2 + x_3)$ 和 $(x_4 - x_5)$ 也服从正态分布，但需要标准化。$(x_2 + x_3)$ 的方差为 $4 + 4 = 8$，因此 $(x_2 + x_3)^2/8$ 服从 $\chi^2(1)$。同理，$(x_4 - x_5)^2/8$ 也服从 $\chi^2(1)$。因此，$b(x_2 + x_3)^2/8$ 和 $c(x_4 - x_5)^2/8$ 分别服从 $\chi^2(b)$ 和 $\chi^2(c)$。
步骤 3：确定 $Y$ 的自由度
$Y = a(x_1^2/4) + b(x_2 + x_3)^2/8 + c(x_4 - x_5)^2/8$ 服从 $\chi^2(a + b + c)$。为了使 $Y$ 服从 $\chi^2$ 分布，$a + b + c$ 必须为整数。因此，$a = 1$，$b = c = 1/8$，自由度为3。
步骤 4：确定 $Z$ 的分布
$Z = \frac{\alpha(x_1 + x_2)}{\sqrt{x_3^2 + x_4^2}}$。由于 $x_1 + x_2$ 服从 $N(0, 8)$，因此 $\frac{x_1 + x_2}{\sqrt{8}}$ 服从 $N(0, 1)$。$\sqrt{x_3^2 + x_4^2}$ 服从 $\chi(2)$。因此，$Z$ 服从 $t$ 分布，自由度为2。为了使 $Z$ 服从 $t$ 分布，$\alpha$ 必须为1。