7. (5.0分) 设总体X~N(μ，σ^2)，其中μ未知，σ^2已知。从总体中抽取容量为n的样本X₁，X₂，…，Xₙ，则样本均值overline(X)的分布是?A. N(μ，σ^2)B. N(μ，σ^2/n)C. N(μ，σ^2*n)D. N(μ，σ^2/(n-1))

本题考查正态分布的性质以及样本均值分布的知识点。解题思路是根据正态分布的性质，若多个相互独立的正态分布随机变量进行线性组合，其结果仍服从正态分布，然后通过计算样本均值的期望和方差来确定样本均值的分布。

已知总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，即总体$X$服从均值为$\mu$，方差为$\sigma^{2}$的正态分布，且$X_1,X_2,\cdots,X_n$是从总体$X$中抽取的容量为$n$的样本，所以$X_i\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$i = 1,2,\cdots,n$，并且$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立。

样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$。

1. 计算样本均值$\overline{X}$的期望$E(\overline{X})$：
   根据期望的线性性质$E(aY + bZ)=aE(Y)+bE(Z)$（$a,b$为常数，$Y,Z$为随机变量），对于$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，有：
   $E(\overline{X})=E(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)$
   因为$E(X_i)=\mu$，$i = 1,2,\cdots,n$，所以$\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu$。

2. 计算样本均值$\overline{X}$的方差$D(\overline{X})$：
   根据方差的性质$D(aY)=a^{2}D(Y)$（$a$为常数，$Y$为随机变量）以及相互独立随机变量和的方差等于各随机变量方差之和，对于$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，有：
   $D(\overline{X})=D(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\frac{1}{n^{2}}\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)$
   因为$D(X_i)=\sigma^{2}$，$i = 1,2,\cdots,n$，所以$\frac{1}{n^{2}}\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\sigma^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n}$。

由于$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立且都服从正态分布，它们的线性组合$\overline{X}$也服从正态分布，且$E(\overline{X})=\mu$，$D(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}$，所以$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})$。