13、判断函数f(z)=overline(z)cdot z^2何处可导？何处解析？（6分）

为了判断函数 $ f(z) = \overline{z} \cdot z^2 $ 何处可导以及何处解析，我们首先将 $ z $ 表示为其实部和虚部。设 $ z = x + iy $，其中 $ x $ 和 $ y $ 是实数。那么，复共轭 $ \overline{z} $ 是 $ x - iy $，而 $ z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy $。因此，我们可以写成： \[ f(z) = \overline{z} \cdot z^2 = (x - iy)(x^2 - y^2 + 2ixy) \] 我们通过展开乘积来简化这个表达式： \[ f(z) = x(x^2 - y^2) + 2ix^2y - iy(x^2 - y^2) - 2iy^2x = x^3 - xy^2 + 2ix^2y - ix^2y + iy^3 - 2ixy^2 = x^3 - xy^2 + ix^2y + iy^3 - 2ixy^2 \] 合并同类项，我们得到： \[ f(z) = (x^3 - 3xy^2) + i(x^2y + y^3) \] 因此，函数 $ f(z) $ 的实部 $ u(x, y) $ 和虚部 $ v(x, y) $ 分别为： \[ u(x, y) = x^3 - 3xy^2, \quad v(x, y) = x^2y + y^3 \] 为了确定 $ f(z) $ 何处可导，我们需要检查 $ u $ 和 $ v $ 是否满足柯西-黎曼方程。柯西-黎曼方程为： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \] 我们计算偏导数： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -6xy \] \[ \frac{\partial v}{\partial x} = 2xy, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = x^2 + 3y^2 \] 将这些代入柯西-黎曼方程，我们得到： \[ 3x^2 - 3y^2 = x^2 + 3y^2 \quad \text{(1)} \] \[ -6xy = -2xy \quad \text{(2)} \] 从方程 (1)，我们有： \[ 3x^2 - 3y^2 = x^2 + 3y^2 \implies 2x^2 = 6y^2 \implies x^2 = 3y^2 \implies x = \pm \sqrt{3}y \] 从方程 (2)，我们有： \[ -6xy = -2xy \implies -4xy = 0 \implies xy = 0 \] 方程 $ xy = 0 $ 意味着 $ x = 0 $ 或 $ y = 0 $。将 $ x = 0 $ 代入 $ x = \pm \sqrt{3}y $，我们得到 $ 0 = \pm \sqrt{3}y \implies y = 0 $。将 $ y = 0 $ 代入 $ x = \pm \sqrt{3}y $，我们得到 $ x = 0 $。因此，唯一的解是 $ x = 0 $ 和 $ y = 0 $，即 $ z = 0 $。 因此，函数 $ f(z) $ 只在 $ z = 0 $ 处可导。 由于函数在 $ z = 0 $ 的任何邻域内除了 $ z = 0 $ 本身外的任何点都不可导，因此它在任何点都不解析。 答案是： \[ \boxed{z=0} \]