题目
7.设总体X服从二项分布b(m,p),其中m,p为未知参数,x1,x2,···,xn为X的一个样本,求m与-|||-p的矩估计.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定总体的矩
总体X服从二项分布b(m,p)，其期望E(X) = mp，方差Var(X) = mp(1-p)。
步骤 2：计算样本矩
样本均值$\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$，样本方差$s_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$。
步骤 3：建立矩估计方程
根据矩估计法，令样本矩等于总体矩，即$\overline{x} = mp$，$s_n^2 = mp(1-p)$。
步骤 4：求解矩估计
从$\overline{x} = mp$得到$p = \frac{\overline{x}}{m}$，代入$s_n^2 = mp(1-p)$得到$s_n^2 = m\frac{\overline{x}}{m}(1-\frac{\overline{x}}{m})$，即$s_n^2 = \overline{x}(1-\frac{\overline{x}}{m})$，从而得到$m = \frac{\overline{x}^2}{\overline{x} - s_n^2}$，$p = 1 - \frac{s_n^2}{\overline{x}}$。
总体X服从二项分布b(m,p)，其期望E(X) = mp，方差Var(X) = mp(1-p)。
步骤 2：计算样本矩
样本均值$\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$，样本方差$s_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$。
步骤 3：建立矩估计方程
根据矩估计法，令样本矩等于总体矩，即$\overline{x} = mp$，$s_n^2 = mp(1-p)$。
步骤 4：求解矩估计
从$\overline{x} = mp$得到$p = \frac{\overline{x}}{m}$，代入$s_n^2 = mp(1-p)$得到$s_n^2 = m\frac{\overline{x}}{m}(1-\frac{\overline{x}}{m})$，即$s_n^2 = \overline{x}(1-\frac{\overline{x}}{m})$，从而得到$m = \frac{\overline{x}^2}{\overline{x} - s_n^2}$，$p = 1 - \frac{s_n^2}{\overline{x}}$。