题目
6.设总体X的概率密度函数为：f(x)=}(1)/(theta)e^-(x)/(theta),&xgeq0,theta>0&0,&x<0X_(1),X_(2),...,X_(n),是取自总体X的简单随机样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计.
6.设总体X的概率密度函数为：
$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x\geq0,\\\theta>0&\\0,&x<0\end{cases}$
$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n},$是取自总体X的简单随机样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计.
题目解答
答案
**矩估计：**
1. 计算总体均值：
$E(X) = \int_0^\infty x \cdot \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} \, dx = \theta$。
2. 令样本均值等于总体均值：
$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \theta$。
3. 解得矩估计：
$\hat{\theta}_{\text{矩}} = \overline{X}$。
**极大似然估计：**
1. 写出似然函数：
$L(\theta) = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i}$。
2. 取对数似然函数：
$\ell(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i$。
3. 求导并令其为零：
$\frac{d \ell(\theta)}{d \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i = 0$。
4. 解得极大似然估计：
$\hat{\theta}_{\text{似然}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \overline{X}$。
**答案：**
$\boxed{\overline{X}}$，即 $\boxed{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i}$。
矩估计和极大似然估计结果相同。
解析
步骤 1：计算总体均值
总体X的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x\geq0,\\\theta>0&\\0,&x<0\end{cases}$，计算总体均值$E(X)$：
$$E(X) = \int_0^\infty x \cdot \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} \, dx$$
利用分部积分法，设$u=x$，$dv=\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} dx$，则$du=dx$，$v=-e^{-\frac{x}{\theta}}$，代入分部积分公式：
$$E(X) = \left[-xe^{-\frac{x}{\theta}}\right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\frac{x}{\theta}} \, dx$$
$$E(X) = 0 + \theta \left[-e^{-\frac{x}{\theta}}\right]_0^\infty$$
$$E(X) = \theta$$
步骤 2：矩估计
令样本均值等于总体均值，即$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \theta$，解得矩估计$\hat{\theta}_{\text{矩}} = \overline{X}$。
步骤 3：极大似然估计
写出似然函数$L(\theta) = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i}$，取对数似然函数$\ell(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i$，求导并令其为零，即$\frac{d \ell(\theta)}{d \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i = 0$，解得极大似然估计$\hat{\theta}_{\text{似然}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \overline{X}$。
总体X的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},&x\geq0,\\\theta>0&\\0,&x<0\end{cases}$，计算总体均值$E(X)$：
$$E(X) = \int_0^\infty x \cdot \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} \, dx$$
利用分部积分法，设$u=x$，$dv=\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} dx$，则$du=dx$，$v=-e^{-\frac{x}{\theta}}$，代入分部积分公式：
$$E(X) = \left[-xe^{-\frac{x}{\theta}}\right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\frac{x}{\theta}} \, dx$$
$$E(X) = 0 + \theta \left[-e^{-\frac{x}{\theta}}\right]_0^\infty$$
$$E(X) = \theta$$
步骤 2：矩估计
令样本均值等于总体均值，即$\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \theta$，解得矩估计$\hat{\theta}_{\text{矩}} = \overline{X}$。
步骤 3：极大似然估计
写出似然函数$L(\theta) = \left( \frac{1}{\theta} \right)^n e^{-\frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i}$，取对数似然函数$\ell(\theta) = -n \ln \theta - \frac{1}{\theta} \sum_{i=1}^n X_i$，求导并令其为零，即$\frac{d \ell(\theta)}{d \theta} = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i = 0$，解得极大似然估计$\hat{\theta}_{\text{似然}} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \overline{X}$。