25. (30.0分) P144,16，把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数：2)(1)/(z(1-z)^2),0<|z|<1;0<|z-1|<1;（只计算第一个圆环域）3)(1)/((z-1)(z-2)),0<|z-1|<1;1<|z-2|<∞;（只计算第二个圆环域） 请输入答案

题目2)$\frac{1}{z(1-z)^{2}}$在$0<|z|<1$内的洛朗展开

洛朗级数是将函数在圆环域内展开为正负幂次项的级数，核心是利用已知的基本展开式（如几何级数、导数公式）进行变形。

步骤1：分解函数

目标是将$\frac{1}{z(1-z)^2}$转化为可利用已知展开的形式。注意到$\frac{1}{(1-z)^2}$是$\frac{1}{1-z}$的导数，而$\frac{1}{1-z}$在$|z|<1$内的几何级数展开为$\sum_{n=0}^{\infty}z^n$。

步骤2：求导得到$\frac{1}{(1-z)^2}$的展开

对$\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n$两边逐项求导（逐项求导在收敛域内成立）：
$\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{1-z}\right)=\frac{1}{(1-z)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}\quad (|z|<1)$

步骤3：乘以$\frac{1}{z}$得到目标展开

将上式乘以$\frac{1}{z}$：
$\frac{1}{z(1-z)^2}=\frac{1}{z}\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-2}$

步骤4：调整求和指标

令$k=n-2$，则$n=k+2$，当$n=1$时$k=-1$，故：
$\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n-2}=\sum_{k=-1}^{\infty}(k+2)z^k$
即$\sum_{n=-1}^{\infty}(n+2)z^n\quad (0<|z|<1)$。

题目3)$\frac{1}{(z-1)(z-2)}$在$1<|z-2|<\infty$内的洛朗展开

步骤1：部分分式分解

先将函数分解为部分分式：
$\frac{1}{(z-1)(z-2)}=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}\quad (\text{通分验证：}\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}=\frac{(z-1)-(z-2)}{(z-1)(z-2)}=\frac{1}{(z-1)(z-2)})$

步骤2：将$\frac{1}{z-1}$用$z-2$表示

在圆环域$1<|z-2|<\infty$中，$|\frac{1}{z-2}|<1$，令$w=\frac{1}{z-2}$，则$z-1=(z-2)+1=\frac{1}{w}+1=\frac{1+w}{w}$，故：
$\frac{1}{z-1}=\frac{w}{1+w}=\frac{1}{\frac{1}{w}+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{z-2}}$

步骤3：几何级数展开

对$\frac{1}{1+\frac{1}{z-2}}$利用几何级数$\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-t)^n\quad (|t|<1)$，令$t=\frac{1}{z-2}$：
$\frac{1}{z-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{z-2}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(z-2)^n}\quad \left(|\frac{1}{z-2}|<1\right)$

步骤4：合并两项得到展开

$\frac{1}{(z-1)(z-2)}=\frac{1}{z-2}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(z-2)^n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(z-2)^{n+1}}$
（提取公因子$\frac{1}{(z-2)^{n+1}}$：$\frac{1}{z-2}=\frac{1}{(z-2)^1}$，可视为$n=0$时的项$\frac{(-1)^0}{(z-2)^{0+1}}$，与求和式合并）。