设X～N（2，9）．求（1）P（X＜5）；（2）P（1≤X＜5）；（3）P（X＞0）；（4）P（|X-2|＞6）．

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换、标准正态分布函数Φ的使用，以及概率区间的转换技巧。

解题核心思路：

1. 标准化变换：将任意正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$转化为标准正态分布$Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$。
2. 区间转换：根据题目所求概率区间，将不等式转化为标准正态变量$Z$的范围。
3. Φ函数性质：利用$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$简化计算，注意补集和对称性的应用。

破题关键点：

• 第（1）题：直接标准化后查Φ(1)。
• 第（2）题：拆分区间为$[-1/3, 1)$，用Φ(1)减去Φ(-1/3)。
• 第（3）题：利用补集思想，转化为$1 - \Phi(-2/3)$。
• 第（4）题：绝对值不等式拆分为两部分，分别计算尾部概率后相加。

第（1）题

标准化变换

$P(X < 5) = P\left(\frac{X-2}{3} < \frac{5-2}{3}\right) = P(Z < 1)$。

查标准正态分布表

$\Phi(1) = 0.8413$。

第（2）题

标准化区间

$P(1 \leq X < 5) = P\left(\frac{1-2}{3} \leq Z < \frac{5-2}{3}\right) = P\left(-\frac{1}{3} \leq Z < 1\right)$。

拆分概率

$P(Z < 1) - P(Z < -1/3) = \Phi(1) - \Phi(-1/3)$。

利用对称性

$\Phi(-1/3) = 1 - \Phi(1/3)$，代入得：
$0.8413 - (1 - 0.6293) = 0.4706$。

第（3）题

补集思想

$P(X > 0) = 1 - P(X \leq 0) = 1 - P\left(Z \leq \frac{0-2}{3}\right) = 1 - \Phi(-2/3)$。

对称性简化

$\Phi(-2/3) = 1 - \Phi(2/3)$，因此：
$1 - (1 - 0.6293) = 0.7486$。

第（4）题

绝对值拆分

$P(|X-2| > 6) = P(X > 8) + P(X < -4)$。

标准化两端

$P\left(Z > \frac{8-2}{3}\right) + P\left(Z < \frac{-4-2}{3}\right) = P(Z > 2) + P(Z < -2)$。

尾部概率计算

$1 - \Phi(2) + \Phi(-2) = 2 - 2\Phi(2) = 2 - 2 \times 0.9772 = 0.0456$。