题目
若D(X) =4,D(Y) =9, rho xY=0.5,Z=2 X-3 Y+5,则D(Z) =_______.
若D(X) =4,D(Y) =9, 
,Z=2 X-3 Y+5,则D(Z) =_______.
题目解答
答案
解：∵
（C为任意常数）
∴
又∵
（a,b为任意常数）
∴
解析
步骤 1：理解方差的性质
方差的性质之一是，对于任意常数C，D(X+C) = D(X)。这意味着常数的加入不会改变随机变量的方差。
步骤 2：应用方差的性质
根据方差的性质，D(Z) = D(2X - 3Y + 5) = D(2X - 3Y)，因为常数5不会影响方差。
步骤 3：计算D(2X - 3Y)
根据方差的线性性质，D(aX ± bY) = a²D(X) + b²D(Y) ± 2abCov(X, Y)，其中Cov(X, Y)是X和Y的协方差。已知ρXY = 0.5，D(X) = 4，D(Y) = 9，所以Cov(X, Y) = ρXY * √D(X) * √D(Y) = 0.5 * √4 * √9 = 0.5 * 2 * 3 = 3。
因此，D(2X - 3Y) = 2²D(X) + 3²D(Y) - 2 * 2 * 3 * Cov(X, Y) = 4 * 4 + 9 * 9 - 12 * 3 = 16 + 81 - 36 = 61。
方差的性质之一是，对于任意常数C，D(X+C) = D(X)。这意味着常数的加入不会改变随机变量的方差。
步骤 2：应用方差的性质
根据方差的性质，D(Z) = D(2X - 3Y + 5) = D(2X - 3Y)，因为常数5不会影响方差。
步骤 3：计算D(2X - 3Y)
根据方差的线性性质，D(aX ± bY) = a²D(X) + b²D(Y) ± 2abCov(X, Y)，其中Cov(X, Y)是X和Y的协方差。已知ρXY = 0.5，D(X) = 4，D(Y) = 9，所以Cov(X, Y) = ρXY * √D(X) * √D(Y) = 0.5 * √4 * √9 = 0.5 * 2 * 3 = 3。
因此，D(2X - 3Y) = 2²D(X) + 3²D(Y) - 2 * 2 * 3 * Cov(X, Y) = 4 * 4 + 9 * 9 - 12 * 3 = 16 + 81 - 36 = 61。