题目
设 X_1, X_2,..., X_n 是来自总体 X sim B(1, p) 的样本，则有A. E(overline(X))= p, D(overline(X))= p(1-p)/ n^2B. E(overline(X))= np, D(overline(X))= p(1-p)C. E(overline(X))= np, D(overline(X))= p(1-p)/ nD. E(overline(X))= p, D(overline(X))= p(1-p)/ n
设 $X_1, X_2,..., X_n$ 是来自总体 $X \sim B(1, p)$ 的样本，则有
A. $E(\overline{X})= p$, $D(\overline{X})= p(1-p)/ n^2$
B. $E(\overline{X})= np$, $D(\overline{X})= p(1-p)$
C. $E(\overline{X})= np$, $D(\overline{X})= p(1-p)/ n$
D. $E(\overline{X})= p$, $D(\overline{X})= p(1-p)/ n$
题目解答
答案
D. $E(\overline{X})= p$, $D(\overline{X})= p(1-p)/ n$
解析
步骤 1：计算样本均值的期望
由于 $X_1, X_2,..., X_n$ 是来自总体 $X \sim B(1, p)$ 的样本，每个 $X_i$ 的期望为 $E(X_i) = p$。样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 的期望为：
\[ E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p = \frac{1}{n} \cdot np = p. \]
步骤 2：计算样本均值的方差
每个 $X_i$ 的方差为 $D(X_i) = p(1-p)$。样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 的方差为：
\[ D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n p(1-p) = \frac{1}{n^2} \cdot np(1-p) = \frac{p(1-p)}{n}. \]
由于 $X_1, X_2,..., X_n$ 是来自总体 $X \sim B(1, p)$ 的样本，每个 $X_i$ 的期望为 $E(X_i) = p$。样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 的期望为：
\[ E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p = \frac{1}{n} \cdot np = p. \]
步骤 2：计算样本均值的方差
每个 $X_i$ 的方差为 $D(X_i) = p(1-p)$。样本均值 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 的方差为：
\[ D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \left(\frac{1}{n}\right)^2 \sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n p(1-p) = \frac{1}{n^2} \cdot np(1-p) = \frac{p(1-p)}{n}. \]