为估计某地区每个家庭日均生活用水量为多少,抽取了450个家庭的简单随机样本,得到样本均值为200升,样本标准差为50升。(1)试用95%的置信水平,计算该地区家庭日均用水量的置信区间。(2)在所调查的450个家庭中,女性为户主的为180个。以95%的置信水平,计算女性为户主的家庭比例的置信区间。注:

考查要点：本题主要考查均值的置信区间和比例的置信区间的计算，涉及大样本条件下正态分布的应用。

解题核心思路：

1. 均值的置信区间：利用样本均值和样本标准差，结合Z分布计算边际误差，构造置信区间。
2. 比例的置信区间：利用样本比例，结合Z分布计算边际误差，构造置信区间。

破题关键点：

• 大样本条件：样本量较大（n≥30），可用正态分布近似。
• 公式选择：均值用$\overline{X} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$，比例用$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$。

第（1）题

确定已知参数

• 样本量$n=450$，样本均值$\overline{X}=200$，样本标准差$S=50$，置信水平$95\%$对应$Z_{0.025}=1.96$。

计算标准误

$\text{标准误} = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{50}{\sqrt{450}} \approx \frac{50}{21.213} \approx 2.357$

计算边际误差

$\text{边际误差} = Z_{0.025} \cdot \text{标准误} = 1.96 \times 2.357 \approx 4.62$

构造置信区间

$\text{置信区间} = 200 \pm 4.62 \quad \Rightarrow \quad (195.38, 204.62)$

第（2）题

计算样本比例

$\hat{p} = \frac{180}{450} = 0.4$

计算标准误

$\text{标准误} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.4 \times 0.6}{450}} = \sqrt{\frac{0.24}{450}} \approx 0.0231$

计算边际误差

$\text{边际误差} = Z_{0.025} \cdot \text{标准误} = 1.96 \times 0.0231 \approx 0.0453$

构造置信区间

$\text{置信区间} = 0.4 \pm 0.0453 \quad \Rightarrow \quad (0.3547, 0.4453) \quad \text{（四舍五入后为} \ (0.355, 0.445)\text{）}$