题目
2.设总体X的数学期望为 (X)=mu , (X1,X2)为来自总体X的样本,则下列统计量中-|||-() 不是未知参数μ的无偏估计.-|||-(A) dfrac (1)(3)(X)_(1)+dfrac (2)(3)(X)_(2) (B) dfrac (3)(4)(X)_(1)+dfrac (1)(4)(X)_(2)-|||-(C)X2 (D) _(1)+dfrac (1)(2)(X)_(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义无偏估计
无偏估计是指一个估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即，如果 $\hat{\mu}$ 是 $\mu$ 的估计量，那么 $\hat{\mu}$ 是无偏估计当且仅当 $E(\hat{\mu}) = \mu$。
步骤 2：计算每个选项的期望值
(A) $\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {2}{3}{X}_{2}$
$E(\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {2}{3}{X}_{2}) = \dfrac {1}{3}E(X_{1})+\dfrac {2}{3}E(X_{2}) = \dfrac {1}{3}\mu+\dfrac {2}{3}\mu = \mu$
(B) $\dfrac {3}{4}{X}_{1}+\dfrac {1}{4}{X}_{2}$
$E(\dfrac {3}{4}{X}_{1}+\dfrac {1}{4}{X}_{2}) = \dfrac {3}{4}E(X_{1})+\dfrac {1}{4}E(X_{2}) = \dfrac {3}{4}\mu+\dfrac {1}{4}\mu = \mu$
(D) ${X}_{1}+\dfrac {1}{2}{X}_{2}$
$E({X}_{1}+\dfrac {1}{2}{X}_{2}) = E(X_{1})+\dfrac {1}{2}E(X_{2}) = \mu+\dfrac {1}{2}\mu = \dfrac {3}{2}\mu$
步骤 3：判断无偏性
(A) 和 (B) 的期望值等于 $\mu$，所以它们是无偏估计。
(D) 的期望值等于 $\dfrac {3}{2}\mu$，不等于 $\mu$，所以它不是无偏估计。
无偏估计是指一个估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即，如果 $\hat{\mu}$ 是 $\mu$ 的估计量，那么 $\hat{\mu}$ 是无偏估计当且仅当 $E(\hat{\mu}) = \mu$。
步骤 2：计算每个选项的期望值
(A) $\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {2}{3}{X}_{2}$
$E(\dfrac {1}{3}{X}_{1}+\dfrac {2}{3}{X}_{2}) = \dfrac {1}{3}E(X_{1})+\dfrac {2}{3}E(X_{2}) = \dfrac {1}{3}\mu+\dfrac {2}{3}\mu = \mu$
(B) $\dfrac {3}{4}{X}_{1}+\dfrac {1}{4}{X}_{2}$
$E(\dfrac {3}{4}{X}_{1}+\dfrac {1}{4}{X}_{2}) = \dfrac {3}{4}E(X_{1})+\dfrac {1}{4}E(X_{2}) = \dfrac {3}{4}\mu+\dfrac {1}{4}\mu = \mu$
(D) ${X}_{1}+\dfrac {1}{2}{X}_{2}$
$E({X}_{1}+\dfrac {1}{2}{X}_{2}) = E(X_{1})+\dfrac {1}{2}E(X_{2}) = \mu+\dfrac {1}{2}\mu = \dfrac {3}{2}\mu$
步骤 3：判断无偏性
(A) 和 (B) 的期望值等于 $\mu$，所以它们是无偏估计。
(D) 的期望值等于 $\dfrac {3}{2}\mu$，不等于 $\mu$，所以它不是无偏估计。