题目
5.填空题设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是____
5.填空题
设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是____
题目解答
答案
根据方差的性质，对于独立随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，有：
\[ D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) \]
代入题目条件 $a=3$，$b=-2$，$D(X)=4$，$D(Y)=2$：
\[ D(3X - 2Y) = 3^2 \cdot 4 + (-2)^2 \cdot 2 = 9 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 36 + 8 = 44 \]
**答案：** $\boxed{44}$
解析
步骤 1：应用方差的性质
根据方差的性质，对于独立随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，有： \[ D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) \]
步骤 2：代入题目条件
代入题目条件 $a=3$，$b=-2$，$D(X)=4$，$D(Y)=2$： \[ D(3X - 2Y) = 3^2 \cdot 4 + (-2)^2 \cdot 2 \]
步骤 3：计算方差
计算方差： \[ D(3X - 2Y) = 9 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 36 + 8 = 44 \]
根据方差的性质，对于独立随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，有： \[ D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) \]
步骤 2：代入题目条件
代入题目条件 $a=3$，$b=-2$，$D(X)=4$，$D(Y)=2$： \[ D(3X - 2Y) = 3^2 \cdot 4 + (-2)^2 \cdot 2 \]
步骤 3：计算方差
计算方差： \[ D(3X - 2Y) = 9 \cdot 4 + 4 \cdot 2 = 36 + 8 = 44 \]