设 X_1, X_2, ..., X_n 为来自总体 X sim N(0,1) 的样本，下列正确的是（）A. (X_1 - X_2)/(sqrt(X_3^2 + X_4^2)) sim t(3)B. (X_1 - X_2)/(sqrt(X_3^2 + X_4^2)) sim t(2)C. (X_1 - X_2)/(sqrt(X_3^2 + X_4^2)) sim chi(3)D. (X_1 - X_2)/(sqrt(X_3^2 + X_4^2)) sim chi(2)

本题考查正态分布、$\chi^{2}$分布和$t$分布的性质及构造。解题的关键在于分别分析分子和分母的分布情况，然后根据$t$分布的定义来判断整个式子的分布。

步骤一：分析分子的分布

已知$X_1,X_2,\cdots,X_n$为来自总体$X\sim N(0,1)$的样本，即$X_1\sim N(0,1)$，$X_2\sim N(0,1)$。
根据正态分布的性质：若$X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^{2})$，$X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^{2})$，且$X_1$与$X_2$相互独立，则$X_1 - X_2\sim N(\mu_1-\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})$。
因为$X_1$与$X_2$相互独立，$\mu_1 = \mu_2 = 0$，$\sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}=1$，所以$X_1 - X_2\sim N(0,1 + 1)=N(0,2)$。
再对$X_1 - X_2$进行标准化，令$Z=\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}}$，则$Z\sim N(0,1)$。

步骤二：分析分母的分布

已知$X_3\sim N(0,1)$，$X_4\sim N(0,1)$，且$X_3$与$X_4$相互独立。
根据$\chi^{2}$分布的定义：若$X\sim N(0,1)$，则$X^{2}\sim\chi^{2}(1)$。
所以$X_3^{2}\sim\chi^{2}(1)$，$X_4^{2}\sim\chi^{2}(1)$。
又因为$\chi^{2}$分布具有可加性，即若$Y_1\sim\chi^{2}(n_1)$，$Y_2\sim\chi^{2}(n_2)$，且$Y_1$与$Y_2$相互独立，则$Y_1 + Y_2\sim\chi^{2}(n_1 + n_2)$。
所以$X_3^{2}+X_4^{2}\sim\chi^{2}(1 + 1)=\chi^{2}(2)$。

步骤三：根据$t$分布的定义判断整个式子的分布

$t$分布的定义为：若$Z\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^{2}(n)$，且$Z$与$Y$相互独立，则$T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$。
在本题中，$Z=\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$，$Y = X_3^{2}+X_4^{2}\sim\chi^{2}(2)$，且$Z$与$Y$相互独立。
将$Z$和$Y$代入$t$分布的定义式中：
$\begin{align*}\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{X_3^{2}+X_4^{2}}}&=\frac{\sqrt{2}Z}{\sqrt{Y}}\\&=\frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{2}}}\end{align*}$
这里$n = 2$，所以$\frac{X_1 - X_2}{\sqrt{X_3^{2}+X_4^{2}}}\sim t(2)$。