9. (10.0分)测量某距离时，随机误差X~N(20,40²) (单位：cm)，则在3次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30cm的概率为_____. (答案保留小数点后两位)

本题考查正态分布的概率计算以及二项分布的应用。解题思路如下：

1. 首先，根据已知的正态分布$X\sim N(20,40^{2})$，通过标准化变换$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$（其中$\mu = 20$为均值，$\sigma = 40$为标准差），将$X$转化为标准正态分布$Z\sim N(0,1)$，然后计算单次测量中误差的绝对值不超过$30cm$的概率$p$。
2. 接着，设$Y$为$3$次测量中误差的绝对值不超过$30cm$的次数，由于每次测量是相互独立的，且每次测量误差的绝对值不超过$30cm$的概率都为$p$，所以$Y$服从参数为$n = 3$，$p$的二项分布$Y\sim B(3,p)$。
3. 最后，要求$3$次测量中至少有一次误差的绝对值不超过$30cm$的概率，即求$P(Y\geq1)$，可利用对立事件的概率公式$P(Y\geq1)=1 - P(Y = 0)$，而$P(Y = 0)=(1 - p)^{3}$，进而计算出结果。

下面进行详细计算：

1. 计算单次测量中误差的绝对值不超过$30cm$的概率$p$
   已知$X\sim N(20,40^{2})$，将$X$标准化，令$Z=\frac{X - 20}{40}$，则$Z\sim N(0,1)$。
   要求$P(\vert X\vert\leq30)$，即$P(-30\leq X\leq30)$，将其转化为标准正态分布的形式：
   $\begin{align*}P(-30\leq X\leq30)&=P(\frac{-30 - 20}{40}\leq\frac{X - 20}{40}\leq\frac{30 - 20}{40})\\&=P(-1.25\leq Z\leq0.25)\end{align*}$
   根据标准正态分布的性质$P(-1.25\leq Z\leq0.25)=\varPhi(0.25)-\varPhi(-1.25)$，又因为$\varPhi(-z)=1 - \varPhi(z)$，所以$\varPhi(-1.25)=1 - \varPhi(1.25)$，则$P(-1.25\leq Z\leq0.25)=\varPhi(0.25)+ \varPhi(1.25)-1$。
   查标准正态分布表可得$\varPhi(0.25)\approx0.5987$，$\varPhi(1.25)\approx0.8944$，所以$P(-1.25\leq Z\leq0.25)\approx0.5987 + 0.8944 - 1 = 0.4931$，即单次测量中误差的绝对值不超过$30cm$的概率$p\approx0.4931$。
2. 计算$3$次测量中至少有一次误差的绝对值不超过$30cm$的概率
   设$Y$为$3$次测量中误差的绝对值不超过$30cm$的次数，则$Y\sim B(3,p)$，其中$p\approx0.4931$。
   要求$P(Y\geq1)$，根据对立事件的概率公式$P(Y\geq1)=1 - P(Y = 0)$，而$P(Y = 0)=C_{3}^{0}p^{0}(1 - p)^{3}=(1 - p)^{3}$，所以$P(Y\geq1)=1-(1 - p)^{3}$。
   将$p\approx0.4931$代入可得：
   $\begin{align*}P(Y\geq1)&\approx1-(1 - 0.4931)^{3}\\&=1 - 0.5069^{3}\\&\approx1 - 0.1309\\&= 0.8691\end{align*}$
   结果保留小数点后两位，四舍五入得$0.87$。