题目

6.随机变量X与Y满足Xsimpi(4)，Ysim N(1，16)，ρ_(XY)=0.5，则E(2X+Y)=______，D(X-Y)=

6.随机变量X与Y满足$X\sim\pi(4)$，$Y\sim N(1，16)$，$ρ_{XY}=0.5$，则E(2X+Y)=______，D(X-Y)=

题目解答

答案

已知 $X \sim \pi(4)$，$Y \sim N(1, 16)$，$\rho_{XY} = 0.5$，则：

  1. 计算 $E(2X+Y)$：
    $E(X) = 4$，$E(Y) = 1$，利用期望线性性质：
    $E(2X+Y) = 2E(X) + E(Y) = 2 \times 4 + 1 = 9$

  2. 计算 $D(X-Y)$：
    $D(X) = 4$，$D(Y) = 16$，$\rho_{XY} = 0.5$，计算协方差：
    $\text{Cov}(X,Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} = 0.5 \times 2 \times 4 = 4$
    利用方差性质：
    $D(X-Y) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y) = 4 + 16 - 2 \times 4 = 12$

答案：
$\boxed{\begin{array}{ll}E(2X+Y) = & 9 \\D(X-Y) = & 12 \\\end{array}}$