题目
设随机变量X1,X 2的分布函数为F11(x),F2(x ),-|||-为使 (x)=a(F)_(1)(x)-b(F)_(2)(x) 为某随机变量的-|||-分布函数,则应取 ()-|||-A. =dfrac (4)(5), =-dfrac (1)(5) B. =dfrac (2)(3), =dfrac (2)(3)-|||-C. =dfrac (4)(3), =-dfrac (2)(5) D. =dfrac (4)(5) ,=dfrac (1)(5)
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解分布函数的性质
分布函数F(x)具有以下性质：
1. F(x)是单调非减函数。
2. $\lim _{x\rightarrow -\infty }F(x)=0$。
3. $\lim _{x\rightarrow \infty }F(x)=1$。
4. F(x)是右连续的。
步骤 2：应用分布函数的性质
根据题目，$F(x)=a{F}_{1}(x)-b{F}_{2}(x)$，其中$F_1(x)$和$F_2(x)$是分布函数。为了使$F(x)$也是分布函数，它必须满足分布函数的性质。特别是，当$x\rightarrow \infty$时，$F(x)$应该趋向于1。因此，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }F(x)=\lim _{x\rightarrow \infty }[a{F}_{1}(x)-b{F}_{2}(x)]=a-b=1$$
步骤 3：验证选项
A. $a=\dfrac {4}{5}$ $b=-\dfrac {1}{5}$，则$a-b=\dfrac {4}{5}-(-\dfrac {1}{5})=\dfrac {5}{5}=1$，满足条件。
B. $a=\dfrac {2}{3}$ $b=\dfrac {2}{3}$，则$a-b=\dfrac {2}{3}-\dfrac {2}{3}=0\neq 1$，不满足条件。
C. $a=\dfrac {4}{3}$ $b=-\dfrac {2}{5}$，则$a-b=\dfrac {4}{3}-(-\dfrac {2}{5})=\dfrac {26}{15}\neq 1$，不满足条件。
D. $a=\dfrac {4}{5}$ $b=\dfrac {1}{5}$，则$a-b=\dfrac {4}{5}-\dfrac {1}{5}=\dfrac {3}{5}\neq 1$，不满足条件。
分布函数F(x)具有以下性质：
1. F(x)是单调非减函数。
2. $\lim _{x\rightarrow -\infty }F(x)=0$。
3. $\lim _{x\rightarrow \infty }F(x)=1$。
4. F(x)是右连续的。
步骤 2：应用分布函数的性质
根据题目，$F(x)=a{F}_{1}(x)-b{F}_{2}(x)$，其中$F_1(x)$和$F_2(x)$是分布函数。为了使$F(x)$也是分布函数，它必须满足分布函数的性质。特别是，当$x\rightarrow \infty$时，$F(x)$应该趋向于1。因此，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow \infty }F(x)=\lim _{x\rightarrow \infty }[a{F}_{1}(x)-b{F}_{2}(x)]=a-b=1$$
步骤 3：验证选项
A. $a=\dfrac {4}{5}$ $b=-\dfrac {1}{5}$，则$a-b=\dfrac {4}{5}-(-\dfrac {1}{5})=\dfrac {5}{5}=1$，满足条件。
B. $a=\dfrac {2}{3}$ $b=\dfrac {2}{3}$，则$a-b=\dfrac {2}{3}-\dfrac {2}{3}=0\neq 1$，不满足条件。
C. $a=\dfrac {4}{3}$ $b=-\dfrac {2}{5}$，则$a-b=\dfrac {4}{3}-(-\dfrac {2}{5})=\dfrac {26}{15}\neq 1$，不满足条件。
D. $a=\dfrac {4}{5}$ $b=\dfrac {1}{5}$，则$a-b=\dfrac {4}{5}-\dfrac {1}{5}=\dfrac {3}{5}\neq 1$，不满足条件。