题目
设 X_1, X_2, ldots, X_n 是总体 N(mu, sigma^2) 的一个样本，其中 mu, sigma^2 已知，则下列选项错误的是()A. overline(X) sim N(mu, (sigma^2)/(n))B. (overline(X)-mu)/(sigma/sqrt(n)) sim N(0,1)C. ((n-1)S^2)/(sigma^2) sim chi^2(n)D. (overline(X)-mu)/(S/sqrt(n)) sim t(n-1)
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的一个样本，其中 $\mu, \sigma^2$ 已知，则下列选项错误的是()
A. $\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$
B. $\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$
C. $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$
D. $\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$
题目解答
答案
C. $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$
解析
本题考查正态总体样本的抽样分布，涉及样本均值、样本方差的分布，以及卡方分布、t分布的应用条件。关键点在于：
- 样本均值的分布：正态总体的样本均值仍服从正态分布，方差为总体方差除以样本量。
- 卡方分布的自由度：样本方差构造的统计量 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 的自由度应为 $n-1$。
- t分布的条件：当总体方差未知时，用样本方差代替，统计量服从t分布，自由度为 $n-1$。
选项A
样本均值 $\overline{X}$ 的分布为 $N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，正确。
选项B
标准化后的样本均值 $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，正确。
选项C
样本方差 $S^2$ 的定义为 $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，因此 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 服从 $\chi^2(n-1)$，而非 $\chi^2(n)$，错误。
选项D
当总体方差 $\sigma^2$ 未知时，统计量 $\frac{\overline{X} - \mu}{S / \sqrt{n}}$ 服从 $t(n-1)$。虽然题目中 $\sigma^2$ 已知，但选项描述的统计量形式符合t分布的定义，正确。