题目
设X_1,X_2,...,X_(1000)是相互独立的随机变量，且X_isim b(1,p)(i=1,2,...,1000)，则下列不正确的是（）A. (1)/(1000)sum_(i=1)^1000X_iapprox pB. PaC. PaD. sum_(i=1)^1000X_isim b(1000,p)
设$X_1,X_2,\cdots,X_{1000}$是相互独立的随机变量，且$X_i\sim b(1,p)$($i=1,2,\cdots,1000$)，则下列不正确的是（）
A. $\frac{1}{1000}\sum_{i=1}^{1000}X_i\approx p$
B. $P\{a< \sum_{i=1}^{1000}X_i< b\}\approx\Phi\left(\frac{b-1000p}{\sqrt{1000p(1-p)}}\right)-\Phi\left(\frac{a-1000p}{\sqrt{1000p(1-p)}}\right)$
C. $P\{a< \sum_{i=1}^{1000}X_i< b\}\approx\Phi(b)-\Phi(a)$
D. $\sum_{i=1}^{1000}X_i\sim b(1000,p)$
题目解答
答案
C. $P\{a< \sum_{i=1}^{1000}X_i< b\}\approx\Phi(b)-\Phi(a)$
解析
步骤 1：分析选项A
根据大数定律，当样本量足够大时，样本均值会近似等于总体均值。由于$X_i\sim b(1,p)$，则$E(X_i)=p$，因此$\frac{1}{1000}\sum_{i=1}^{1000}X_i\approx p$是正确的。
步骤 2：分析选项B
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本和的标准化形式近似服从标准正态分布。因此，$\sum_{i=1}^{1000}X_i$近似服从$N(1000p, 1000p(1-p))$，标准化后得到的概率表达式是正确的。
步骤 3：分析选项C
选项C直接用标准正态分布计算概率，没有考虑均值和方差，因此是错误的。
步骤 4：分析选项D
由于$X_i\sim b(1,p)$，则$\sum_{i=1}^{1000}X_i$服从二项分布$b(1000,p)$，因此选项D是正确的。
根据大数定律，当样本量足够大时，样本均值会近似等于总体均值。由于$X_i\sim b(1,p)$，则$E(X_i)=p$，因此$\frac{1}{1000}\sum_{i=1}^{1000}X_i\approx p$是正确的。
步骤 2：分析选项B
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本和的标准化形式近似服从标准正态分布。因此，$\sum_{i=1}^{1000}X_i$近似服从$N(1000p, 1000p(1-p))$，标准化后得到的概率表达式是正确的。
步骤 3：分析选项C
选项C直接用标准正态分布计算概率，没有考虑均值和方差，因此是错误的。
步骤 4：分析选项D
由于$X_i\sim b(1,p)$，则$\sum_{i=1}^{1000}X_i$服从二项分布$b(1000,p)$，因此选项D是正确的。