题目

设(X,Y)是一个二维随机变量，若X和Y相互独立，则Cov(X,Y)=0( ). 正确 错误

设(X,Y)是一个二维随机变量，若X和Y相互独立，则Cov(X,Y)=0( ). 正确 错误

题目解答

答案

协方差的定义为： \[ \text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] \] 当 $X$ 和 $Y$ 相互独立时，有 $E[XY] = E[X]E[Y]$。代入协方差公式得： \[ \text{Cov}(X, Y) = E[X]E[Y] - E[X]E[Y] = 0 \] 因此，若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则 $\text{Cov}(X, Y) = 0$，原陈述正确。 答案：$\boxed{\text{正确}}$

解析

本题考查二维随机变量中随机变量相互独立与协方差的关系。解题思路是先明确协方差的定义公式，再根据随机变量相互独立的性质，将其代入协方差公式进行计算，从而判断命题的正确性。

  1. 首先明确协方差的定义公式：
    • 对于二维随机变量$(X,Y)$，协方差$\text{Cov}(X,Y)$的定义为$\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$，其中$E[XY]$表示$XY$的数学期望，$E[X]$表示$X$的数学期望，$E[Y]$表示$Y$的数学期望。
  2. 然后根据随机变量相互独立的性质：
    • 已知$X$和$Y$相互独立，根据随机变量相互独立的性质可知，当两个随机变量相互独立时，它们乘积的数学期望等于它们各自数学期望的乘积，即$E[XY]=E[X]E[Y]$。
  3. 最后将$E[XY]=E[X]E[Y]$代入协方差公式：
    • 把$E[XY]=E[X]E[Y]$代入$\text{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$中，可得$\text{Cov}(X,Y)=E[X]E[Y]-E[X]E[Y]=0$。