题目
机器自动称装大米,每装大米的重量X~N(50,0.52)(单位:kg)随机取一袋,若误差超过0.8kg,就停机调整,求需要停机调整的概率。
机器自动称装大米,每装大米的重量X~N(50,0.52)(单位:kg)随机取一袋,若误差超过0.8kg,就停机调整,求需要停机调整的概率。
题目解答
答案
解析
考查要点:本题主要考查正态分布的概率计算,涉及标准化转换和标准正态分布表的使用。
解题核心思路:
- 标准化处理:将原正态分布变量转化为标准正态分布变量,简化计算。
- 绝对值不等式转换:将误差超过0.8kg的条件转化为标准正态分布的概率表达式。
- 利用对称性简化计算:通过标准正态分布的对称性,将双侧概率转化为单侧概率的计算。
破题关键点:
- 正确标准化:用公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ 将 $X$ 转换为标准正态变量 $Z$。
- 理解误差条件:误差超过0.8kg对应 $|X - 50| > 0.8$,即 $|Z| > \frac{0.8}{0.5}$。
- 查表技巧:通过标准正态分布函数 $\Phi(z)$ 快速计算概率。
步骤1:标准化处理
已知 $X \sim N(50, 0.5^2)$,令 $Z = \frac{X - 50}{0.5}$,则 $Z \sim N(0,1)$。
步骤2:转化误差条件
误差超过0.8kg的条件为 $|X - 50| > 0.8$,代入标准化公式得:
$\left| \frac{X - 50}{0.5} \right| > \frac{0.8}{0.5} \quad \Rightarrow \quad |Z| > 1.6$
步骤3:计算概率
所求概率为 $P(|Z| > 1.6)$,利用标准正态分布的对称性:
$P(|Z| > 1.6) = 2 \cdot P(Z > 1.6) = 2 \cdot [1 - \Phi(1.6)]$
步骤4:查标准正态分布表
查表得 $\Phi(1.6) = 0.9452$,代入计算:
$2 \cdot (1 - 0.9452) = 2 \cdot 0.0548 = 0.1096$