设 X_1, X_2, X_3 是取自总体的容量为3的样本,且总体方差为 sigma^2,则用下列统计量估计设计总体均值时,则最有效的估计为()A. mu_1 = (1)/(2)X_1 + (1)/(3)X_2 + (1)/(6)X_3B. mu_2 = (1)/(3)X_1 + (1)/(3)X_2 + (1)/(3)X_3C. mu_3 = (1)/(6)X_1 + (1)/(6)X_2 + (2)/(3)X_3D. mu_4 = (1)/(12)X_1 + (1)/(4)X_2 + (2)/(3)X_3
设 $X_1, X_2, X_3$ 是取自总体的容量为3的样本,且总体方差为 $\sigma^2$,则用下列统计量估计设计总体均值时,则最有效的估计为() A. $\mu_1 = \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{6}X_3$ B. $\mu_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$ C. $\mu_3 = \frac{1}{6}X_1 + \frac{1}{6}X_2 + \frac{2}{3}X_3$ D. $\mu_4 = \frac{1}{12}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{2}{3}X_3$
题目解答
答案
我们的问题是：从四个不同的统计量中选择最有效的估计量来估计总体均值。我们知道：
- $ X_1, X_2, X_3 $ 是来自同一总体的样本，容量为 3。
- 总体方差为 $ \sigma^2 $。
- 所有估计量都是样本的线性组合。
- 所谓“最有效”，指的是在无偏估计量中，方差最小的那个。
第一步：判断无偏性
一个估计量 $ \hat{\mu} $ 是总体均值 $ \mu $ 的无偏估计量，当且仅当：
$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \mu$
由于 $ X_i $ 是总体的样本，所以 $ \mathbb{E}[X_i] = \mu $，对每个 $ i = 1,2,3 $。
我们检查每个选项的期望：
A. $ \mu_1 = \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{6}X_3 $
$\mathbb{E}[\mu_1] = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{6}\mu = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right)\mu = \mu$
✅ 无偏。
B. $ \mu_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3 $
$\mathbb{E}[\mu_2] = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right)\mu = \mu$
✅ 无偏。
C. $ \mu_3 = \frac{1}{6}X_1 + \frac{1}{6}X_2 + \frac{2}{3}X_3 $
$\mathbb{E}[\mu_3] = \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{2}{3} \right)\mu = \mu$
✅ 无偏。
D. $ \mu_4 = \frac{1}{12}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{2}{3}X_3 $
$\mathbb{E}[\mu_4] = \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right)\mu = \left( \frac{1 + 3 + 8}{12} \right)\mu = \mu$
✅ 无偏。
第二步：比较方差（有效性）
由于我们只关心有效性，即在无偏估计中选择方差最小的估计量。
设 $ X_1, X_2, X_3 $ 独立同分布，方差为 $ \sigma^2 $，则：
$\mathrm{Var}(aX_1 + bX_2 + cX_3) = a^2\sigma^2 + b^2\sigma^2 + c^2\sigma^2 = (a^2 + b^2 + c^2)\sigma^2$
我们分别计算每个估计量的方差：
A. $ \mu_1 = \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{6}X_3 $
$\mathrm{Var}(\mu_1) = \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2 \right)\sigma^2 = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} \right)\sigma^2$
通分：
$\frac{9 + 4 + 1}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$
所以：
$\mathrm{Var}(\mu_1) = \frac{7}{18}\sigma^2$
B. $ \mu_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3 $
$\mathrm{Var}(\mu_2) = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \sigma^2 = \frac{1}{3}\sigma^2$
C. $ \mu_3 = \frac{1}{6}X_1 + \frac{1}{6}X_2 + \frac{2}{3}X_3 $
$\mathrm{Var}(\mu_3) = \left( \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 \right)\sigma^2 = \left( \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{4}{9} \right)\sigma^2$
$= \left( \frac{2}{36} + \frac{16}{36} \right)\sigma^2 = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$
D. $ \mu_4 = \frac{1}{12}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{2}{3}X_3 $
$\mathrm{Var}(\mu_4) = \left( \left(\frac{1}{12}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 \right)\sigma^2 = \left( \frac{1}{144} + \frac{1}{16} + \frac{4}{9} \right)\sigma^2$
通分：
$\frac{1}{144} + \frac{9}{144} + \frac{64}{144} = \frac{74}{144} = \frac{37}{72}$
第三步：比较方差大小
我们列出每个估计量的方差（乘以 $ \sigma^2 $）：
- A: $ \frac{7}{18} \approx 0.389 $
- B: $ \frac{1}{3} \approx 0.333 $
- C: $ \frac{1}{2} = 0.5 $
- D: $ \frac{37}{72} \approx 0.514 $
所以最小方差的是 B，即：
$\boxed{\mu_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3}$
✅ 最终答案：B
这是最有效的估计量。
解析
本题考查的是参数估计中估计量的无偏性和有效性。解题的关键思路是先判断各个统计量是否为总体均值的无偏估计量，然后在无偏估计量中比较它们的方差，方差最小的估计量即为最有效的估计量。
第一步：判断无偏性
一个估计量 $\hat{\mu}$ 是总体均值 $\mu$ 的无偏估计量，当且仅当 $\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \mu$。因为 $X_1, X_2, X_3$ 是总体的样本，所以 $\mathbb{E}[X_i] = \mu$，$i = 1,2,3$。
- 选项A：
$\mu_1 = \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{6}X_3$
$\mathbb{E}[\mu_1] = \frac{1}{2}\mathbb{E}[X_1] + \frac{1}{3}\mathbb{E}[X_2] + \frac{1}{6}\mathbb{E}[X_3] = \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{3}\mu + \frac{1}{6}\mu = \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right)\mu = \mu$，所以 $\mu_1$ 是无偏估计量。 - 选项B：
$\mu_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$
$\mathbb{E}[\mu_2] = \frac{1}{3}\mathbb{E}[X_1] + \frac{1}{3}\mathbb{E}[X_2] + \frac{1}{3}\mathbb{E}[X_3] = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right)\mu = \mu$，所以 $\mu_2$ 是无偏估计量。 - 选项C：
$\mu_3 = \frac{1}{6}X_1 + \frac{1}{6}X_2 + \frac{2}{3}X_3$
$\mathbb{E}[\mu_3] = \frac{1}{6}\mathbb{E}[X_1] + \frac{1}{6}\mathbb{E}[X_2] + \frac{2}{3}\mathbb{E}[X_3] = \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{2}{3} \right)\mu = \mu$，所以 $\mu_3$ 是无偏估计量。 - 选项D：
$\mu_4 = \frac{1}{12}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{2}{3}X_3$
$\mathbb{E}[\mu_4] = \frac{1}{12}\mathbb{E}[X_1] + \frac{1}{4}\mathbb{E}[X_2] + \frac{2}{3}\mathbb{E}[X_3] = \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{4} + \frac{2}{3} \right)\mu = \left( \frac{1 + 3 + 8}{12} \right)\mu = \mu$，所以 $\mu_4$ 是无偏估计量。
第二步：比较方差（有效性）
由于 $X_1, X_2, X_3$ 独立同分布，方差为 $\sigma^2$，对于线性组合 $aX_1 + bX_2 + cX_3$，其方差为 $\mathrm{Var}(aX_1 + bX_2 + cX_3) = a^2\sigma^2 + b^2\sigma^2 + c^2\sigma^2 = (a^2 + b^2 + c^2)\sigma^2$。
- 选项A：
$\mu_1 = \frac{1}{2}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{6}X_3$
$\mathrm{Var}(\mu_1) = \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2 \right)\sigma^2 = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} \right)\sigma^2$
通分可得：$\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} = \frac{9 + 4 + 1}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$
所以 $\mathrm{Var}(\mu_1) = \frac{7}{18}\sigma^2$。 - 选项B：
$\mu_2 = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{3}X_2 + \frac{1}{3}X_3$
$\mathrm{Var}(\mu_2) = \left( \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 \right)\sigma^2 = 3\times\left(\frac{1}{3}\right)^2\sigma^2 = \frac{1}{3}\sigma^2$。 - 选项C：
$\mu_3 = \frac{1}{6}X_1 + \frac{1}{6}X_2 + \frac{2}{3}X_3$
$\mathrm{Var}(\mu_3) = \left( \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 \right)\sigma^2 = \left( \frac{1}{36} + \frac{1}{36} + \frac{4}{9} \right)\sigma^2$
$= \left( \frac{2}{36} + \frac{16}{36} \right)\sigma^2 = \frac{18}{36}\sigma^2 = \frac{1}{2}\sigma^2$。 - 选项D：
$\mu_4 = \frac{1}{12}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{2}{3}X_3$
$\mathrm{Var}(\mu_4) = \left( \left(\frac{1}{12}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 \right)\sigma^2 = \left( \frac{1}{144} + \frac{1}{16} + \frac{4}{9} \right)\sigma^2$
通分可得：$\frac{1}{144} + \frac{1}{16} + \frac{4}{9} = \frac{1 + 9 + 64}{144} = \frac{74}{144} = \frac{37}{72}$
所以 $\mathrm{Var}(\mu_4) = \frac{37}{72}\sigma^2$。
第三步：比较方差大小
将各估计量的方差进行比较：
$\frac{7}{18}\sigma^2\approx 0.389\sigma^2$，$\frac{1}{3}\sigma^2\approx 0.333\sigma^2$，$\frac{1}{2}\sigma^2 = 0.5\sigma^2$，$\frac{37}{72}\sigma^2\approx 0.514\sigma^2$
因为 $\frac{1}{3}\sigma^2$ 最小，所以 $\mu_2$ 是最有效的估计量。