题目

已知X sim N(5,sigma^2)，且P(5A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.1

已知$X \sim N(5,\sigma^2)$，且$P(5< X< 6)=0.4$，则$P(X< 4)=$(）.

A. 0.4

B. 0.3

C. 0.2

D. 0.1

题目解答

答案

D. 0.1

解析

本题考查正态分布的性质及概率计算。解题的关键思路是利用正态分布的对称性来求解概率。

已知$X\sim N(5,\sigma^{2})$，这表明随机变量$X$服从均值为$5$，方差为$\sigma^{2}$的正态分布。正态分布曲线关于均值$\mu = 5$对称。

  1. 首先明确正态分布的对称性：
    • 对于正态分布$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，其概率$P(X\lt\mu)=P(X\gt\mu)=\frac{1}{2}$。在本题中$\mu = 5$，所以$P(X\lt5)=P(X\gt5)=\frac{1}{2}$。
  2. 然后根据已知条件$P(5\lt X\lt6)=0.4$：
    • 由于正态分布曲线关于$x = 5$对称，那么$P(4\lt X\lt5)$与$P(5\lt X\lt6)$是相等的，即$P(4\lt X\lt5)=P(5\lt X\lt6)=0.4$。
  3. 最后计算$P(X\lt4)$：
    • 因为$P(X\lt5)=P(X\lt4)+P(4\lt X\lt5)$，已知$P(X\lt5)=\frac{1}{2}=0.5$，$P(4\lt X\lt5)=0.4$。
    • 所以$P(X\lt4)=P(X\lt5)-P(4\lt X\lt5)=0.5 - 0.4=0.1$。