设总体 X sim N(mu, sigma^2), X_1, X_2, ..., X_n (n > 2) 为来自总体的样本，则下列关于 mu 的 4 个估计量中最有效的是A. (1)/(2)(X_1 + X_2)B. bar(X)C. (1)/(2)X_1 + (2)/(3)X_2 - (1)/(6)X_3D. 2bar(X) - X_1

本题考查的知识点是估计量有效性的判断。解题思路是先明确估计量有效性的判断标准，即对于总体参数的多个无偏估计量，方差越小的估计量越有效。然后分别计算四个选项所给估计量的方差，最后比较方差大小得出最有效的估计量。

1. 明确无偏估计量的性质

若$\hat{\theta}$是总体参数$\theta$的无偏估计量，则$E(\hat{\theta}) = \theta$。对于本题，总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本$X_1, X_2, \cdots, X_n$，且$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$，$i = 1,2,\cdots,n$。

• 选项A：
  计算$E\left[\frac{1}{2}(X_1 + X_2)\right]$，根据期望的线性性质$E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$可得：
  $E\left[\frac{1}{2}(X_1 + X_2)\right]=\frac{1}{2}E(X_1) + \frac{1}{2}E(X_2)=\frac{1}{2}\mu + \frac{1}{2}\mu=\mu$
  所以$\frac{1}{2}(X_1 + X_2)$是$\mu$的无偏估计量。
  再计算其方差$D\left[\frac{1}{2}(X_1 + X_2)\right]$，根据方差的性质$D(aX + bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$（$X$与$Y$相互独立）可得：
  $D\left[\frac{1}{2}(X_1 + X_2)\right]=\frac{1}{4}D(X_1) + \frac{1}{4}D(X_2)=\frac{1}{4}\sigma^2 + \frac{1}{4}\sigma^2=\frac{1}{2}\sigma^2$
• 选项B：
  样本均值$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，计算$E(\bar{X})$：
  $E(\bar{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu$
  所以$\bar{X}$是$\mu$的无偏估计量。
  计算其方差$D(\bar{X})$：
  $D(\bar{X}) = D\left(\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{1}{n}\sigma^2$
• 选项C：
  计算$E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{2}{3}X_2 - \frac{1}{6}X_3\right)$：
  $E\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{2}{3}X_2 - \frac{1}{6}X_3\right)=\frac{1}{2}E(X_1) + \frac{2}{3}E(X_2) - \frac{1}{6}E(X_3)=\frac{1}{2}\mu + \frac{2}{3}\mu - \frac{1}{6}\mu=\mu$
  所以$\frac{1}{2}X_1 + \frac{2}{3}X_2 - \frac{1}{6}X_3$是$\mu$的无偏估计量。
  计算其方差$D\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{2}{3}X_2 - \frac{1}{6}X_3\right)$：
  $D\left(\frac{1}{2}X_1 + \frac{2}{3}X_2 - \frac{1}{6}X_3\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2D(X_1) + \left(\frac{2}{3}\right)^2D(X_2) + \left(-\frac{1}{6}\right)^2D(X_3)$
  $=\frac{1}{4}\sigma^2 + \frac{4}{9}\sigma^2 + \frac{1}{36}\sigma^2=\left(\frac{9 + 16 + 1}{36}\right)\sigma^2=\frac{13}{18}\sigma^2$
• 选项D：
  计算$E(2\bar{X} - X_1)$：
  $E(2\bar{X} - X_1)=2E(\bar{X}) - E(X_1)=2\mu - \mu=\mu$
  所以$2\bar{X} - X_1$是$\mu$的无偏估计量。
  计算其方差$D(2\bar{X} - X_1)$：
  因为$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，所以$D(2\bar{X} - X_1)=D\left(2\cdot\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i - X_1\right)$
  $=D\left(\frac{2}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i - X_1\right)=D\left(\frac{2}{n}X_1 + \frac{2}{n}\sum_{i = 2}^{n}X_i - X_1\right)=D\left(-\frac{n - 2}{n}X_1 + \frac{2}{n}\sum_{i = 2}^{n}X_i\right)$
  $=\left(-\frac{n - 2}{n}\right)^2D(X_1) + \left(\frac{2}{n}\right)^2\sum_{i = 2}^{n}D(X_i)=\frac{(n - 2)^2}{n^2}\sigma^2 + \frac{4(n - 1)}{n^2}\sigma^2=\frac{n^2 - 4n + 4 + 4n - 4}{n^2}\sigma^2=\sigma^2$

2. 比较方差大小

已知$n>2$，比较$\frac{1}{2}\sigma^2$，$\frac{1}{n}\sigma^2$，$\frac{13}{18}\sigma^2$，$\sigma^2$的大小。
因为$n>2$，所以$\frac{1}{n}<\frac{1}{2}<\frac{13}{18}<1$，即$\frac{1}{n}\sigma^2<\frac{1}{2}\sigma^2<\frac{13}{18}\sigma^2<\sigma^2$。
所以$\bar{X}$的方差最小，$\bar{X}$是最有效的估计量。