题目
13. (4.0分) 在六阶行列式|a_(ij)|中，元素乘积a_(15)a_(23)a_(32)a_(44)a_(56)a_(61)应带的符号是
13. (4.0分)
在六阶行列式$|a_{ij}|$中，元素乘积$a_{15}a_{23}a_{32}a_{44}a_{56}a_{61}$应带的符号是
题目解答
答案
在六阶行列式 $|a_{ij}|$ 中，元素乘积 $a_{15}a_{23}a_{32}a_{44}a_{56}a_{61}$ 的符号由列指标排列 $(5, 3, 2, 4, 6, 1)$ 的奇偶性决定。
计算该排列的逆序数：
- $5$ 后有 $3, 2, 4, 1$（4个逆序）；
- $3$ 后有 $2, 1$（2个逆序）；
- $2$ 后有 $1$（1个逆序）；
- $4$ 后有 $1$（1个逆序）；
- $6$ 后有 $1$（1个逆序）；
- $1$ 无逆序。
总逆序数为 $4 + 2 + 1 + 1 + 1 = 9$，为奇数。
因此，该乘积应带负号。
答案：$\boxed{\text{负号}}$
解析
本题考查行列式中元素乘积符号的确定，解题的关键在于根据行列式的定义，通过计算元素列指标排列的逆序数来判断符号。
在$n$阶行列式中，每一项都是取自不同行不同列的$n$个元素的乘积，其符号由列指标排列的逆序数的奇偶性决定。若逆序数为偶数，则该项带正号；若逆序数为奇数，则该项带负号。
对于元素乘积$a_{15}a_{23}a_{32}a_{44}a_{56}a_{61}$，其列指标排列为$(5, 3, 2, 4, 6, 1)$，下面计算该排列的逆序数：
- 对于数字$5$，在它后面比它小的数字有$3$、$2$、$4$、$1$，共$4$个，所以有$4$个逆序。
- 对于数字$3$，在它后面比它小的数字有$2$、$1$，共$2$个，所以有$2$个逆序。
- 对于数字$2$，在它后面比它小的数字有$1$，共$1$个，所以有$1$个逆序。
- 对于数字$4$，在它后面比它小的数字有$1$，共$1$个，所以有$1$个逆序。
- 对于数字$6$，在它后面比它小的数字有$1$，共$1$个，所以有$1$个逆序。
- 对于数字$1$，它后面没有比它小的数字，所以逆序数为$0$。
将所有逆序数相加，可得总逆序数$t = 4 + 2 + 1 + 1 + 1 = 9$。因为$9$是奇数，所以元素乘积$a_{15}a_{23}a_{32}a_{44}a_{56}a_{61}$应带负号。