当x→0时，与x等价的无穷小量的（）A. sin x-x^2B. x-sin xC. x^2-sin xD. 1-cos x

本题考查等价无穷小量的概念及判断方法。解题的关键思路是根据等价无穷小量的定义，即当$x\to0$时，若$\lim\limits_{x\to0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，则称$\alpha(x)$与$\beta(x)$是等价无穷小量。我们需要分别计算每个选项与$x$的比值在$x\to0$时的极限，若极限为$1$，则该选项与$x$是等价无穷小量。

选项A

计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x - x^2}{x}$，根据极限的运算法则$\lim\limits_{x\to a}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to a}f(x)-\lim\limits_{x\to a}g(x)$，可将其拆分为$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}-\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{x}$。

• 由重要极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$。
• 对于$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{x}$，化简可得$\lim\limits_{x\to0}x = 0$。
  所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x - x^2}{x}=1 - 0 = 1$，即当$x\to0$时，$\sin x - x^2$与$x$是等价无穷小量。

选项B

计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{x - \sin x}{x}$，同样根据极限的运算法则拆分为$\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x}-\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$。

• $\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{x}=1$。
• 由重要极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$。
  所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{x - \sin x}{x}=1 - 1 = 0$，即当$x\to0$时，$x - \sin x$是比$x$高阶的无穷小量。

选项C

计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2 - \sin x}{x}$，根据极限的运算法则拆分为$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{x}-\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$。

• 对于$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2}{x}$，化简可得$\lim\limits_{x\to0}x = 0$。
• 由重要极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$。
  所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2 - \sin x}{x}=0 - 1 = -1$，即当$x\to0$时，$x^2 - \sin x$与$x$是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量。

选项D

根据等价无穷小替换，当$x\to0$时，$1 - \cos x\sim\frac{1}{2}x^2$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{1 - \cos x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^2}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{2}x = 0$，即当$x\to0$时，$1 - \cos x$是比$x$高阶的无穷小量。