抽样调查某市 45 sim 55 岁健康男性居民的血脂水平，184名 45 sim 55 岁健康男性居民的血清总胆固醇 (TC) 的 overline(X)=4.84 mathrm(mmol/L)，S=0.95 mathrm(mmol/L)，已知健康人的血清总胆固醇服从正态分布。(1) 估计该市 45 sim 55 岁健康男性居民的血清总胆固醇的 95% 参考值范围 ____~____mmol/L。（结果保留3位小数）(2) 估计该市 45 sim 55 岁健康男性居民中，血清总胆固醇低于 3.80 mathrm(mmol/L) 所占的比例为 %。____（结果保留2位小数）(3) 估计该市 45 sim 55 岁健康男性居民中，血清总胆固醇在 3.25 sim 5.25 mathrm(mmol/L) 范围内的比例为____%。（结果保留2位小数）
抽样调查某市 $45 \sim 55$ 岁健康男性居民的血脂水平，184名 $45 \sim 55$ 岁健康男性居民的血清总胆固醇 (TC) 的 $\overline{X}=4.84 \mathrm{mmol/L}$，$S=0.95 \mathrm{mmol/L}$，已知健康人的血清总胆固醇服从正态分布。 (1) 估计该市 $45 \sim 55$ 岁健康男性居民的血清总胆固醇的 95% 参考值范围 ____~____mmol/L。（结果保留3位小数） (2) 估计该市 $45 \sim 55$ 岁健康男性居民中，血清总胆固醇低于 $3.80 \mathrm{mmol/L}$ 所占的比例为 %。____（结果保留2位小数） (3) 估计该市 $45 \sim 55$ 岁健康男性居民中，血清总胆固醇在 $3.25 \sim 5.25 \mathrm{mmol/L}$ 范围内的比例为____%。（结果保留2位小数）
题目解答
答案
(1) 95%参考值范围
由正态分布性质，95%参考值范围为 $\bar{X} \pm 1.96S$。
代入数据：$\bar{X} = 4.84$，$S = 0.95$，得范围为 $4.84 \pm 1.96 \times 0.95$，即 $2.978$ mmol/L 到 $6.702$ mmol/L。
答案： $2.978$ mmol/L 到 $6.702$ mmol/L
(2) 低于3.80 mmol/L的比例
计算 $Z$ 值：$Z = \frac{3.80 - 4.84}{0.95} \approx -1.0947$。
由标准正态分布表，$P(Z < -1.09) \approx 0.1379$，即约 $13.79\%$。
答案： $13.79\%$
(3) 3.25~5.25 mmol/L范围内的比例
计算 $Z$ 值：$Z_1 \approx -1.6737$，$Z_2 \approx 0.4316$。
由标准正态分布表，$P(Z < 0.43) \approx 0.6664$，$P(Z < -1.67) \approx 0.0475$，
故比例为 $0.6664 - 0.0475 = 0.6189$，即约 $61.89\%$。
答案： $61.89\%$
$\boxed{\begin{array}{ccc}\text{(1) } 2.978 \text{ mmol/L} \text{ 到 } 6.702 \text{ mmol/L} \\\text{(2) } 13.79\% \\\text{(3) } 61.89\%\end{array}}$
解析
本题主要考查正态分布的性质及应用，解题的关键在于利用正态分布的均值$\overline{X}$、标准差$S$，通过$Z$值公式$Z = \frac{X - \overline{X}}{S}$将一般正态分布转化为标准正态分布，再结合标准正态分布表来求解相应的概率或范围。
(1) 估计该市$45 \sim 55$岁健康男性居民的血清总胆固醇的$95\%$参考值范围
对于正态分布，$95\%$参考值范围的计算公式为$\overline{X} \pm 1.96S$。
已知$\overline{X}=4.84 \mathrm{mmol/L}$，$S = 0.95 \mathrm{mmol/L}$，将其代入公式可得：
下限为$\overline{X}-1.96S=4.84 - 1.96\times0.95$
$=4.84 - 1.862$
$= 2.978\mathrm{mmol/L}$
上限为$\overline{X}+1.96S=4.84 + 1.96\times0.95$
$=4.84 + 1.862$
$= 6.702\mathrm{mmol/L}$
所以$95\%$参考值范围是$2.978\mathrm{mmol/L}$到$6.702\mathrm{mmol/L}$。
(2) 估计该市$45 \sim 55$岁健康男性居民中，血清总胆固醇低于$3.80 \mathrm{mmol/L}$所占的比例
首先计算$Z$值，根据公式$Z = \frac{X - \overline{X}}{S}$，其中$X = 3.80\mathrm{mmol/L}$，$\overline{X}=4.84 \mathrm{mmol/L}$，$S = 0.95 \mathrm{mmol/L}$，则：
$Z = \frac{3.80 - 4.84}{0.95}=\frac{-1.04}{0.95}\approx -1.0947$
然后查标准正态分布表，得到$P(Z < -1.09) \approx 0.1379$，将其转化为百分数形式为$0.1379\times100\% = 13.79\%$。
(3) 估计该市$45 \sim 55$岁健康男性居民中，血清总胆固醇在$3.25 \sim 5.25 \mathrm{mmol/L}$范围内的比例
分别计算$X_1 = 3.25\mathrm{mmol/L}$和$X_2 = 5.25\mathrm{mmol/L}$对应的$Z$值。
对于$X_1 = 3.25\mathrm{mmol/L}$，$Z_1 = \frac{3.25 - 4.84}{0.95}=\frac{-1.59}{0.95}\approx -1.6737$
对于$X_2 = 5.25\mathrm{mmol/L}$，$Z_2 = \frac{5.25 - 4.84}{0.95}=\frac{0.41}{0.95}\approx 0.4316$
查标准正态分布表可得$P(Z < 0.43) \approx 0.6664$，$P(Z < -1.67) \approx 0.0475$。
那么血清总胆固醇在$3.25 \sim 5.25 \mathrm{mmol/L}$范围内的比例为$P(-1.67 < Z < 0.43)=P(Z < 0.43) - P(Z < -1.67)$
$= 0.6664 - 0.0475$
$= 0.6189$
将其转化为百分数形式为$0.6189\times100\% = 61.89\%$。