已知矩阵 A = } 1 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 1 & 2 ；(2) 解矩阵方程 AX = B 。
已知矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} $，$ B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} $。
(1) 求 $ A $ 的逆矩阵 $ A^{-1} $；
(2) 解矩阵方程 $ AX = B $。
题目解答
答案
(1) 求 $ A $ 的逆矩阵 $ A^{-1} $
矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} $，
计算得 $ \det(A) = -1 $，
余子式矩阵 $ C = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} $，
伴随矩阵 $ \text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} $，
故 $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \boxed{\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 2 & -2 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}} $。
(2) 解矩阵方程 $ AX = B $
$ X = A^{-1}B $，其中 $ B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} $，
计算得 $ X = \boxed{\begin{pmatrix} 5 & -2 & -2 \\ 4 & -3 & -2 \\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}} $。