题目
71.设A为n阶方阵，|A|=2，则|2A^T|=（ ）.
71.设A为n阶方阵，$|A|=2$，则$|2A^{T}|=（ ）$.
题目解答
答案
为了求解 $ |2A^T| $ 的值，我们需要使用一些矩阵行列式的性质。下面将逐步进行解答。
1. **行列式的性质之一：矩阵的转置的行列式等于矩阵本身的行列式。**
\[
|A^T| = |A|
\]
Given $ |A| = 2 $, we have $ |A^T| = 2 $.
2. **行列式的性质之二：将矩阵的某一行（列）的所有元素乘以常数 $ k $，则新矩阵的行列式等于原矩阵的行列式乘以 $ k $。**
\[
\text{如果 } B \text{ 是将 } A \text{ 的某一行（列）乘以 } k \text{ 得到的矩阵，那么 } |B| = k|A|
\]
3. **将矩阵 $ A $ 乘以常数 $ k $（即 $ kA $），相当于将 $ A $ 的每一行（列）都乘以 $ k $。因此， $ kA $ 的行列式等于 $ k^n $ 乘以 $ A $ 的行列式，其中 $ n $ 是 $ A $ 的阶数。**
\[
|kA| = k^n |A|
\]
4. **将上述性质应用到 $ 2A^T $ 上。**
\[
|2A^T| = 2^n |A^T|
\]
5. **代入 $ |A^T| = 2 $。**
\[
|2A^T| = 2^n \times 2 = 2^{n+1}
\]
因此， $ |2A^T| $ 的值为 $ \boxed{2^{n+1}} $。
解析
本题考查矩阵行列式的性质，解题思路是根据矩阵转置的行列式性质以及数乘矩阵的行列式性质逐步计算$\vert 2A^{T}\vert$的值。
- 利用矩阵转置的行列式性质：
根据行列式的性质，矩阵的转置的行列式等于矩阵本身的行列式，即$\vert A^{T}\vert=\vert A\vert$。
已知$\vert A\vert = 2$，所以$\vert A^{T}\vert = 2$。 - 利用数乘矩阵的行列式性质：
若$A$ $A$是$n$阶方阵，$k$为常数，则$\vert kA\vert = k^{n}\vert A\vert$。
对于$\vert 2A^{T}\vert$，这里$k = 2$，$A$替换为$A^{T}$，所以$\vert 2A^{T}\vert = 2^{n}\vert A^{T}\vert$。 - 代入$\vert A^{T}\vert$的值进行计算：
将$\vert A^{T}\vert = 2$代入$\vert 2A^{T}\vert = 2^{n}\vert A^{T}\vert$中，可得$\vert 2A^{T}\vert = 2^{n}\times 2$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{m}\times a^{n}=a^{m + n}$（$a\neq0$，$m$、$n$为整数），则$2^{n}\times 2 = 2^{n + 1}$。