题目
对 Y 关于 X 的 OLS 回归, 试证明:(1) 可决系数 R^2 可由下式计算R^2 = hat(beta)_1^2 (sum x_i^2)/(sum y_i^2)(2) 可决系数 R^2 就是 Y 与 X 之间的线性相关系数的平方r_(XY)^2 = ((sum x_i y_i)^2)/(sum x_i^2 sum y_i^2)(3) 可决系数 R^2 也是 Y 与 hat(Y) 之间的线性相关系数 r_(Yhat{Y)} 的平方r_(Yhat{Y)}^2 = ((sum y_i hat(y)_i)^2)/(sum y_i^2 sum hat(y)_i^2)
对 $Y$ 关于 $X$ 的 OLS 回归, 试证明:
(1) 可决系数 $R^2$ 可由下式计算
$$
R^2 = \hat{\beta}_1^2 \frac{\sum x_i^2}{\sum y_i^2}
$$
(2) 可决系数 $R^2$ 就是 $Y$ 与 $X$ 之间的线性相关系数的平方
$$
r_{XY}^2 = \frac{(\sum x_i y_i)^2}{\sum x_i^2 \sum y_i^2}
$$
(3) 可决系数 $R^2$ 也是 $Y$ 与 $\hat{Y}$ 之间的线性相关系数 $r_{Y\hat{Y}}$ 的平方
$$
r_{Y\hat{Y}}^2 = \frac{(\sum y_i \hat{y}_i)^2}{\sum y_i^2 \sum \hat{y}_i^2}
$$
题目解答
答案
1. 根据 $ R^2 = \frac{ESS}{TSS} = \frac{\sum \hat{y}_i^2}{\sum y_i^2} $，且 $ \hat{y}_i = \hat{\beta}_1 x_i $，可得：
\[
R^2 = \frac{\hat{\beta}_1^2 \sum x_i^2}{\sum y_i^2}
\]
2. 根据 $ \hat{\beta}_1 = \frac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2} $，可得：
\[
R^2 = \frac{(\sum x_i y_i)^2}{\sum x_i^2 \sum y_i^2} = r_{XY}^2
\]
3. 根据 $ \sum y_i \hat{y}_i = \sum \hat{y}_i^2 $，可得：
\[
r_{Y\hat{Y}}^2 = \frac{(\sum y_i \hat{y}_i)^2}{\sum y_i^2 \sum \hat{y}_i^2} = \frac{\sum \hat{y}_i^2}{\sum y_i^2} = R^2
\]
综上，$ R^2 $ 可以通过上述三种方式表示，分别对应题目中的三个部分。