已知行列式 D_1=|0&lambda_1&1&0 0&0&lambda_2&1 0&0&0&lambda_3 lambda_4&0&0&0|，其中lambda_1lambda_2lambda_3lambda_4neq0， 则 D_1 与 D_2 应满足关系 ________A. D_1=D_2B. D_1=-D_2C. D_1=2D_2D. 2D_1=D_2

考查要点：本题主要考查四阶行列式的计算，特别是利用展开式法简化计算。关键在于选择合适的行或列展开，结合三角矩阵的行列式性质。

解题思路：

1. 观察行列式结构：两个行列式均为四阶，且存在较多零元素，适合按展开式法计算。
2. 选择展开列：优先选择非零元素较少的列展开，减少计算量。
3. 计算子行列式：展开后得到的子行列式可能为三角矩阵，直接利用对角线元素乘积简化计算。

破题关键：

• D₁：按第一列展开，剩余子式为下三角矩阵，行列式为对角线乘积。
• D₂：按第一列展开，需注意符号因子和子行列式的计算，最终结果与D₁符号相反。

计算 $D_1$

1. 按第一列展开：
   第一列仅第4个元素非零，展开式为：
   $D_1 = (-1)^{4+1} \cdot \lambda_4 \cdot \begin{vmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{vmatrix}$
2. 计算三阶行列式：
   下三角矩阵行列式为对角线乘积：
   $\begin{vmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{vmatrix} = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3$
3. 最终结果：
   $D_1 = (-1)^5 \cdot \lambda_4 \cdot \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = -\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4$

计算 $D_2$

1. 按第一列展开：
   非零元素为第3、4行，展开式为：
   $D_2 = \lambda_3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} + \lambda_4 \cdot (-1)^{4+1} \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ \lambda_3 & 0 & 0 \end{vmatrix}$
2. 计算子行列式：
   • 第一个子行列式全为0，结果为0。
   • 第二个子行列式按第三列展开：
     $\begin{vmatrix} 0 & 0 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ \lambda_3 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \lambda_1 \cdot (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix} 0 & \lambda_2 \\ \lambda_3 & 0 \end{vmatrix} = \lambda_1 \cdot (-\lambda_2 \lambda_3)$
3. 代入展开式：
   $D_2 = \lambda_4 \cdot (-1)^5 \cdot (-\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4$

结论

$D_1 = -\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4, \quad D_2 = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4 \implies D_1 = -D_2$