题目
设二维离散型随机变量的分布列为（1）求边缘分布列；（2）判别X和Y是否相互独立；（3）求相关系数.
设二维离散型随机变量
的分布列为
（1）求边缘分布列；（2）判别X和Y是否相互独立；（3）求相关系数.
题目解答
答案
（1）X的边缘分布律为
，
，即
，
Y的边缘分布律为
，
，
，即
；
（2）
，则X与Y不相互独立；
（3）
，
，
XY的分布律为
，
，
，则
，则
，
与X同分布，则
，则
，
的分布律为
，
，则
，
，则
.
解析
步骤 1：求边缘分布列
为了求出边缘分布列，我们需要分别计算X和Y的边缘概率。边缘概率是通过将联合概率分布表中对应行或列的概率相加得到的。
- 对于X的边缘分布，我们分别计算$P(X=0)$和$P(X=1)$。
- 对于Y的边缘分布，我们分别计算$P(Y=-1)$，$P(Y=0)$和$P(Y=1)$。
步骤 2：判别X和Y是否相互独立
两个随机变量X和Y相互独立的条件是对于所有可能的x和y值，都有$P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$。我们可以通过比较联合概率和边缘概率的乘积来判断X和Y是否相互独立。
步骤 3：求相关系数
相关系数$\rho_{XY}$是衡量两个随机变量X和Y之间线性关系强度的指标。它可以通过协方差和标准差来计算，公式为$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$。其中，$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$。
为了求出边缘分布列，我们需要分别计算X和Y的边缘概率。边缘概率是通过将联合概率分布表中对应行或列的概率相加得到的。
- 对于X的边缘分布，我们分别计算$P(X=0)$和$P(X=1)$。
- 对于Y的边缘分布，我们分别计算$P(Y=-1)$，$P(Y=0)$和$P(Y=1)$。
步骤 2：判别X和Y是否相互独立
两个随机变量X和Y相互独立的条件是对于所有可能的x和y值，都有$P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$。我们可以通过比较联合概率和边缘概率的乘积来判断X和Y是否相互独立。
步骤 3：求相关系数
相关系数$\rho_{XY}$是衡量两个随机变量X和Y之间线性关系强度的指标。它可以通过协方差和标准差来计算，公式为$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$。其中，$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$，$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$，$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$。