题目
21.一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形,沿其上半部分均匀分布有电荷 +0 ,沿其下半部分均匀分布有-|||-电荷 -0, 如图所示。试求圆心O处的电场强度。-|||-↑y-|||-+ ++-|||-+-|||-→x
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定微小电荷
在θ处取微小电荷 $dq=ldl=\dfrac {2Qd\theta }{\pi }$，其中 $Q$ 是总电荷量，$dl$ 是微小电荷的长度，$l$ 是半圆的周长，$\theta$ 是微小电荷相对于圆心的角度。
步骤 2：计算微小电荷在圆心处产生的电场强度
微小电荷 $dq$ 在圆心O处产生的电场强度为 $dE=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}^{2}}=\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}d\theta$，其中 ${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数，$R$ 是半圆的半径。
步骤 3：将电场强度分解成两个分量
将 $dE$ 分解成两个分量 $d{E}_{x}=dE\sin \theta =\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\sin \theta d\theta$ 和 $d{E}_{Y}=-dE\cos \theta =-\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\cos \theta d\theta$。
步骤 4：对各分量分别积分
对 $d{E}_{x}$ 和 $d{E}_{Y}$ 分别积分，考虑到一半是负电荷，$E_{x}$ 的积分结果为0，$E_{Y}$ 的积分结果为 $-\dfrac {Q}{{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}$。
步骤 5：计算总电场强度
总电场强度为 $\overrightarrow {E}={E}_{1}\overrightarrow {i}+{E}_{3}\overrightarrow {j}=\dfrac {-Q}{{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\overrightarrow {j}$，其中 $\overrightarrow {i}$ 和 $\overrightarrow {j}$ 分别是x轴和y轴的单位向量。
在θ处取微小电荷 $dq=ldl=\dfrac {2Qd\theta }{\pi }$，其中 $Q$ 是总电荷量，$dl$ 是微小电荷的长度，$l$ 是半圆的周长，$\theta$ 是微小电荷相对于圆心的角度。
步骤 2：计算微小电荷在圆心处产生的电场强度
微小电荷 $dq$ 在圆心O处产生的电场强度为 $dE=\dfrac {dq}{4\pi {\varepsilon }_{0}{R}^{2}}=\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}d\theta$，其中 ${\varepsilon }_{0}$ 是真空介电常数，$R$ 是半圆的半径。
步骤 3：将电场强度分解成两个分量
将 $dE$ 分解成两个分量 $d{E}_{x}=dE\sin \theta =\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\sin \theta d\theta$ 和 $d{E}_{Y}=-dE\cos \theta =-\dfrac {Q}{2{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\cos \theta d\theta$。
步骤 4：对各分量分别积分
对 $d{E}_{x}$ 和 $d{E}_{Y}$ 分别积分，考虑到一半是负电荷，$E_{x}$ 的积分结果为0，$E_{Y}$ 的积分结果为 $-\dfrac {Q}{{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}$。
步骤 5：计算总电场强度
总电场强度为 $\overrightarrow {E}={E}_{1}\overrightarrow {i}+{E}_{3}\overrightarrow {j}=\dfrac {-Q}{{\pi }^{2}{\varepsilon }_{0}{R}^{2}}\overrightarrow {j}$，其中 $\overrightarrow {i}$ 和 $\overrightarrow {j}$ 分别是x轴和y轴的单位向量。