题目
(4)设X1,X2,···X,Nn为总体X的一个样本, sim (X)^2(n) . overline (X)=dfrac (1)(n)sum _(i=1)^n(X)_(i) 则EX,DX-|||-分别为 ()-|||-A)n,2n; (B)1,2n; (C)n,2; (D) dfrac (1)(n),n
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解问题
题目要求我们计算样本均值 $\overline{X}$ 的期望值 $E(\overline{X})$ 和方差 $D(\overline{X})$，其中样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 来自于自由度为 $n$ 的卡方分布 $\chi^2(n)$。
步骤 2：计算 $E(\overline{X})$
由于 $X_i \sim \chi^2(n)$，我们知道 $E(X_i) = n$。因此，样本均值 $\overline{X}$ 的期望值为：
$$
E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot n = n
$$
步骤 3：计算 $D(\overline{X})$
由于 $X_i \sim \chi^2(n)$，我们知道 $D(X_i) = 2n$。因此，样本均值 $\overline{X}$ 的方差为：
$$
D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 2n = \frac{2n}{n} = 2
$$
题目要求我们计算样本均值 $\overline{X}$ 的期望值 $E(\overline{X})$ 和方差 $D(\overline{X})$，其中样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 来自于自由度为 $n$ 的卡方分布 $\chi^2(n)$。
步骤 2：计算 $E(\overline{X})$
由于 $X_i \sim \chi^2(n)$，我们知道 $E(X_i) = n$。因此，样本均值 $\overline{X}$ 的期望值为：
$$
E(\overline{X}) = E\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot n = n
$$
步骤 3：计算 $D(\overline{X})$
由于 $X_i \sim \chi^2(n)$，我们知道 $D(X_i) = 2n$。因此，样本均值 $\overline{X}$ 的方差为：
$$
D(\overline{X}) = D\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot 2n = \frac{2n}{n} = 2
$$