题目
12．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60～84分之间的概率(Ф(1)=0.841，Ф(2)=0.977)．
12．某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60～84分之间的概率(Ф(1)=0.841，Ф(2)=0.977)．
题目解答
答案
因为F（96）=Φ（96-72x）=1-0.023=0.9770=Φ（2） 所以x=12； 成绩在60至84分之间的概率： F（84）-F（60）=Φ（84-7212）-Φ（60-7212） =Φ（1）-Φ（-1）=2Φ（1）-1 =2×0.8413-1=0.6826． 故答案为：0.6826．
解析
步骤 1：确定正态分布的参数
已知外语成绩近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%。根据正态分布的性质，可以确定标准差σ。由于96分以上的概率为2.3%，即P(X > 96) = 0.023，可以转换为标准正态分布的值，即P(Z > (96 - 72) / σ) = 0.023。根据标准正态分布表，P(Z > 2) = 0.023，因此(96 - 72) / σ = 2，解得σ = 12。
步骤 2：计算60～84分之间的概率
根据正态分布的性质，可以将60～84分之间的概率转换为标准正态分布的概率。即P(60 < X < 84) = P((60 - 72) / 12 < Z < (84 - 72) / 12) = P(-1 < Z < 1)。根据标准正态分布表，P(Z < 1) = 0.8413，P(Z < -1) = 1 - P(Z < 1) = 0.1587。因此，P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826。
已知外语成绩近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%。根据正态分布的性质，可以确定标准差σ。由于96分以上的概率为2.3%，即P(X > 96) = 0.023，可以转换为标准正态分布的值，即P(Z > (96 - 72) / σ) = 0.023。根据标准正态分布表，P(Z > 2) = 0.023，因此(96 - 72) / σ = 2，解得σ = 12。
步骤 2：计算60～84分之间的概率
根据正态分布的性质，可以将60～84分之间的概率转换为标准正态分布的概率。即P(60 < X < 84) = P((60 - 72) / 12 < Z < (84 - 72) / 12) = P(-1 < Z < 1)。根据标准正态分布表，P(Z < 1) = 0.8413，P(Z < -1) = 1 - P(Z < 1) = 0.1587。因此，P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826。