计算行列式 D = det([0,0,1,2], [0,0,3,4], [5,5,5,5], [1,2,3,4]) 的值.

本题考查行列式的计算，解题思路是利用行列式按行展开法则将四阶行列式转化为三阶行列式进行计算。

步骤一：按第一行展开行列式

对于四阶行列式$D = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 5 & 5 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{vmatrix}$，根据行列式按行展开法则$D=\sum_{j = 1}^{n}a_{ij}A_{ij}$（其中$a_{ij}$是第$i,j$）个元素，$A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$，$M_{ij}$是$a_{ij}$的余子式），按第一行展开可得：
$D = 0\times A_{11}+0\times A_{12}+1\times A_{13}+2\times A_{14}=1\cdot A_{13} + 2\cdot A_{14}$

步骤二：计算$A_{13}$

$A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = M_{13}$，其中$M_{13}$是$a_{13}$的余子式，即划去第一行和第三列后剩下的三阶行列式：
$M_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 5 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix}$
按第一行展开$M_{13}$可得：
$M_{13}=0\times(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix}5&5\\2&4\end{vmatrix}+0\times(-1)^{1 + 2}\begin{vmatrix}5&5\\1&4\end{vmatrix}+4\times(-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix}5&5\\1&2\end{vmatrix}$
$=4\times(5\times2 - 5\times1)=4\times(10 - 5)=20$
所以$A_{13}=20$。

步骤三：计算$A_{14}$

$A_{14} = (-1)^{1+4} M_{14} = -M_{14}$，其中$M_{14}$是$a_{14}$的余子式，即划去第一行和第四列后剩下的三阶行列式：
$M_{14} = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
按第一行展开$M_{14}$可得：
$M_{14}=0\times(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix}5&5\\2&3\end{vmatrix}+0\times(-1)^{1 + 2}\begin{vmatrix}5&5\\1&3\end{vmatrix}+3\times(-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix}5&5\\1&2\end{vmatrix}$
$=3\times(5\times2 - 5\times1)=3\times(10 - 5)=15$
所以$A_{14}=-15$。

步骤四：计算$D$的值

将$A_{13}=20$，$A_{14}=-15$代入$D = 1\cdot A_{13} + 2\cdot A_{14}$可得：
$D = 1\times20 + 2\times(-15)=20 - 30=-10$