w-|||-π-|||-u -D如图，质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b,长轴水平，短轴竖直。质量为m的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy,椭圆长轴位于x轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为g。（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；（2）在平面直角坐标系xOy中，求出小球运动的轨迹方程；（3）若(M)/(m)=(b)/(a-b)，求小球下降h=(b)/(2)高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用a、b及g表示）。

解：（1）小球第一次运动到轨道最低点时，小球和凹槽组成的系统水平方向上动量守恒，机械能守恒，选水平向左的方向为正方向，设小球的速度为v₁，凹槽的速度为v₂，则
0=mv₁-Mv₂
两边同时乘以t可得：
0=mx₁-Mx₂
根据几何关系可知：x₁+x₂=a
根据机械能守恒定律可得：
$mgb=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
联立解得：v₂=$\sqrt{\frac{2{m}^{2}gb}{{M}^{2}+Mm}}$；x₂=$\frac{ma}{M+m}$
（2）设小球的坐标为（x,y），设此时凹槽向右运动的距离为x₀，则
m（a-x）=Mx₀
小球在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可分析出此时的椭圆方程为：
$\frac{（x-{x}_{0}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$
整理可得：$\frac{[x（M+m）-ma]^{2}}{{M}^{2}{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{\;b}^{2}}=1$，（y≤0）
（3）将$\frac{M}{m}=\frac{b}{a-b}$代入上述的轨迹方程可得：
[x-（a-b）]²+y²=b²
根据数学知识可知，上述的轨迹方程是以（a-b,0）为圆心，b为半径的圆，当小球下落的高度为$h=\frac{b}{2}$时，对应的位置如图所示：

此时可知速度的方向与水平方向的夹角为60°，小球下落的高度为$\frac{b}{2}$ 过程中，系统水平方向动量守恒，选择水平向左的方向为正方向，设小球的速度为v₃，凹槽的速度为v₄，则
0=mv₃cos60°-Mv₄
根据机械能守恒定律可得；
$\frac{1}{2}mgb=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{4}^{2}$
联立解得：v₃=$2b\sqrt{\frac{g}{a+3b}}$
答：（1）小球第一次运动到轨道最低点时，凹槽的速度大小为$\sqrt{\frac{2{m}^{2}gb}{{M}^{2}+Mm}}$，凹槽相对于初始时刻运动的距离为$\frac{ma}{M+m}$；
（2）在平面直角坐标系xOy中，小球运动的轨迹方程为$\frac{[x（M+m）-ma]^{2}}{{M}^{2}{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{\;b}^{2}}=1$，（y≤0）；
（3）若$\frac{M}{m}=\frac{b}{a-b}$，求小球下降$h=\frac{b}{2}$高度时，小球相对于地面的速度大小为$2b\sqrt{\frac{g}{a+3b}}$。