由以往记录的数据分析,某船只在不同情况下运输某种物品,损坏2%,10%,90%的概率分别为0.8,0.15和0.05.现在从中随机地取三件,发现这三件全是好的,试分析这批物品的损坏率为多少?

考查要点：本题主要考查贝叶斯定理和全概率公式的应用，要求根据已知条件概率，计算后验概率并进行决策。

解题核心思路：

1. 设定事件：将不同损坏率设为互斥事件，三件均为好的设为观测事件。
2. 计算条件概率：根据损坏率计算三件均为好的的概率。
3. 全概率公式：计算观测事件的总概率。
4. 贝叶斯公式：计算各损坏率的后验概率，比较后验概率大小得出结论。

破题关键：

• 正确应用三次方：三件均为好的的概率需用单件好的概率的三次方。
• 区分先验与后验：明确先验概率（题目给定）与后验概率（需计算）的关系。

设定事件：

• $A_1$：损坏率为2%，先验概率 $P(A_1)=0.8$；
• $A_2$：损坏率为10%，先验概率 $P(A_2)=0.15$；
• $A_3$：损坏率为90%，先验概率 $P(A_3)=0.05$；
• $B$：三件均为好的。

计算条件概率：

• $P(B|A_1) = (1-0.02)^3 = 0.98^3 \approx 0.9412$；
• $P(B|A_2) = (1-0.10)^3 = 0.90^3 = 0.729$；
• $P(B|A_3) = (1-0.90)^3 = 0.10^3 = 0.001$。

全概率公式计算总概率：
$\begin{aligned}P(B) &= P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3) \\&= 0.9412 \times 0.8 + 0.729 \times 0.15 + 0.001 \times 0.05 \\&\approx 0.75296 + 0.10935 + 0.000005 \\&\approx 0.862315 \approx 0.8624.\end{aligned}$

贝叶斯公式计算后验概率：

• $P(A_1|B) = \dfrac{0.9412 \times 0.8}{0.8624} \approx 0.8731$；
• $P(A_2|B) = \dfrac{0.729 \times 0.15}{0.8624} \approx 0.1268$；
• $P(A_3|B) = \dfrac{0.001 \times 0.05}{0.8624} \approx 0.0001$。

结论：后验概率最大的为 $P(A_1|B) \approx 0.8731$，因此损坏率为2%。