题目

7.(单选题)设X~N(1,1²),其密度函数为f(x),分布函数为F(x),则有A p(X≤0)=p(X≥0)=(1)/(2)B f(x)=f(-x),x∈(-∞,∞)C p(X≤1)=p(X≥1)=0.5D F(x)=1-F(-x),x∈(-∞,+∞)

7.(单选题)设X~N(1,1²),其密度函数为f(x),分布函数为F(x),则有 A p(X≤0)=p(X≥0)=$\frac{1}{2}$ B f(x)=f(-x),x∈(-∞,∞) C p(X≤1)=p(X≥1)=0.5 D F(x)=1-F(-x),x∈(-∞,+∞)

题目解答

设 $X \sim N(1,1^2)$，即 $X$ 服从均值为1、方差为1的正态分布。其密度函数为 $f(x)$，分布函数为 $F(x) = P(X \leq x)$。
选项分析：

A： $P(X \leq 0) = P(X \geq 0) = \frac{1}{2}$
均值为1，分布关于 $x=1$ 对称，故 $P(X \leq 0) \neq P(X \geq 0)$，且均不等于 $\frac{1}{2}$。错误。
B： $f(x) = f(-x)$，$x \in (-\infty, +\infty)$
密度函数关于 $x=1$ 对称，而非关于 $x=0$ 对称，故 $f(x) \neq f(-x)$。错误。
C： $P(X \leq 1) = P(X \geq 1) = 0.5$
均值为1，分布关于 $x=1$ 对称，故 $P(X \leq 1) = P(X \geq 1) = 0.5$。正确。
D： $F(x) = 1 - F(-x)$，$x \in (-\infty, +\infty)$
分布关于 $x=1$ 对称，应满足 $F(x) = 1 - F(2-x)$，而非 $F(x) = 1 - F(-x)$。错误。

答案： $\boxed{C}$

本题考查正态分布的对称性及其性质的应用。解题关键在于理解正态分布的密度函数和分布函数的对称轴为均值μ，而非原点。需逐一分析选项，判断其是否符合正态分布的对称性特点。

选项分析

选项A

错误。
正态分布关于均值μ=1对称，而非关于x=0对称。因此，$P(X \leq 0)$和$P(X \geq 0)$不相等，且均不等于$\frac{1}{2}$。

选项B

错误。
密度函数$f(x)$关于$x=1$对称，即$f(x) = f(2-x)$，而非$f(x) = f(-x)$。例如，当$x=1$时，$f(1)$最大，但$f(-1) \neq f(1)$。

选项C

正确。
正态分布在均值μ=1处对称，因此$P(X \leq 1) = P(X \geq 1) = 0.5$。

选项D

错误。
分布函数的对称性应为$F(x) = 1 - F(2-x)$，而非$F(x) = 1 - F(-x)$。例如，当$x=1$时，$F(1)=0.5$，但$1 - F(-1) \neq 0.5$。