题目
设_(1),(X)_(2),... ,(X)_(6)是取自正态总体_(1),(X)_(2),... ,(X)_(6)的一个样本,则_(1),(X)_(2),... ,(X)_(6)服从的分布为（）(A)t(2)(B)t(3) (C)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(6)(D_(1),(X)_(2),... ,(X)_(6)
设
是取自正态总体
的一个样本,则
服从的分布为（）
(A)t(2)
(B)t(3)
(C)
(D
题目解答
答案
根据t分布的定义可得
综上所述，本题答案为A.
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 是取自正态总体 $N(0, \sigma^2)$ 的一个样本，根据正态分布的性质，样本均值 $\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4}$ 也服从正态分布，即 $\bar{X} \sim N(0, \frac{\sigma^2}{4})$。因此，$X_1 + X_2 + X_3 + X_4 \sim N(0, 4\sigma^2)$。
步骤 2：标准化样本均值
将 $X_1 + X_2 + X_3 + X_4$ 标准化，得到 $\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma} \sim N(0, 1)$。
步骤 3：确定卡方分布
根据卡方分布的定义，$\frac{X_5^2}{\sigma^2} + \frac{X_6^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(2)$，即 $X_5^2 + X_6^2 \sim \sigma^2 \chi^2(2)$。
步骤 4：确定t分布
由于 $\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma}$ 与 $X_5^2 + X_6^2$ 相互独立，根据t分布的定义，$\frac{\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma}}{\sqrt{\frac{X_5^2 + X_6^2}{2\sigma^2}}} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{2(X_5^2 + X_6^2)}} \sim t(2)$。
由于 $X_1, X_2, \cdots, X_6$ 是取自正态总体 $N(0, \sigma^2)$ 的一个样本，根据正态分布的性质，样本均值 $\bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4}$ 也服从正态分布，即 $\bar{X} \sim N(0, \frac{\sigma^2}{4})$。因此，$X_1 + X_2 + X_3 + X_4 \sim N(0, 4\sigma^2)$。
步骤 2：标准化样本均值
将 $X_1 + X_2 + X_3 + X_4$ 标准化，得到 $\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma} \sim N(0, 1)$。
步骤 3：确定卡方分布
根据卡方分布的定义，$\frac{X_5^2}{\sigma^2} + \frac{X_6^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(2)$，即 $X_5^2 + X_6^2 \sim \sigma^2 \chi^2(2)$。
步骤 4：确定t分布
由于 $\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma}$ 与 $X_5^2 + X_6^2$ 相互独立，根据t分布的定义，$\frac{\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma}}{\sqrt{\frac{X_5^2 + X_6^2}{2\sigma^2}}} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{2(X_5^2 + X_6^2)}} \sim t(2)$。