题目

8.单选题(2.5分)某地区某种疾病在某年的发病人为a_(0)，以后历年为a_(1)，a_(2)，…，a_(n)，则该病发病人数的年平均增长速度为()。A. (a_(0)+a_(1)+...+a_(n))/(n+1)B. sqrt[n+1](a_{0)a_(1)... a_(n)}C. sqrt[n]((a_{n))/(a_(0))}-1

8.单选题(2.5分) 某地区某种疾病在某年的发病人为$a_{0}$，以后历年为$a_{1}$，$a_{2}$，…，$a_{n}$，则该病发病人数的年平均增长速度为()。

A. $\frac{a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}}{n+1}$

B. $\sqrt[n+1]{a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}$

C. $\sqrt[n]{\frac{a_{n}}{a_{0}}}-1$

题目解答

答案

C. $\sqrt[n]{\frac{a_{n}}{a_{0}}}-1$

解析

年平均增长速度的计算核心在于几何平均增长率的概念。题目中，发病人数每年按相同比例增长，需通过初始值$a_0$和最终值$a_n$，计算年均增长率$r$。关键公式为：
$a_n = a_0 (1 + r)^n$
解得：
$r = \sqrt[n]{\frac{a_n}{a_0}} - 1$
选项辨析：

  • A为算术平均，B为几何平均人数，均不符合增长率定义；
  • C符合公式推导；
  • D未明确，但非增长率表达式。

公式推导

  1. 设定年均增长率：设年均增长率为$r$，则发病人数满足：
    $a_1 = a_0 (1 + r)$
    $a_2 = a_1 (1 + r) = a_0 (1 + r)^2$
    $\vdots$
    $a_n = a_0 (1 + r)^n$
  2. 解方程求$r$：将$a_n$代入公式：
    $\frac{a_n}{a_0} = (1 + r)^n$
    $1 + r = \sqrt[n]{\frac{a_n}{a_0}}$
    $r = \sqrt[n]{\frac{a_n}{a_0}} - 1$

选项分析

  • A：计算历年发病人数的算术平均，与增长率无关；
  • B：计算历年发病人数的几何平均，未体现增长率；
  • C：通过初始值和最终值计算几何平均增长率，正确；
  • D：未明确，但不符合增长率定义。