设随机变量 X sim N(mu, sigma^2) (sigma > 0)，记 p = P(X leq mu + sigma^2)，则（）A. p 随着 mu 的增加而增加B. p 随着 sigma 的增加而增加C. p 随着 mu 的增加而减少D. p 随着 sigma 的增加而减少

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及参数变化对概率的影响，需要理解均值$\mu$和标准差$\sigma$对分布形态的作用。

解题核心思路：

1. 标准化转换：将原正态变量$X$转化为标准正态变量$Z$，简化概率计算。
2. 参数影响分析：分别分析$\mu$和$\sigma$的变化如何影响标准化后的结果，从而判断概率$p$的变化趋势。

破题关键点：

• $\mu$的变化：平移分布位置，但$\mu + \sigma^2$始终位于新均值右侧$\sigma^2$处，因此$p$与$\mu$无关。
• $\sigma$的变化：同时改变分布宽度和$\mu + \sigma^2$的位置，需通过标准化后的$Z$值判断$p$的单调性。

标准化过程：
设$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则标准化变量为$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$。
原概率可表示为：
$p = P(X \leq \mu + \sigma^2) = P\left(Z \leq \frac{\mu + \sigma^2 - \mu}{\sigma}\right) = P(Z \leq \sigma).$

参数分析：

1. $\mu$的影响：
   $\mu$的变化仅平移分布位置，但$\mu + \sigma^2$始终位于均值右侧$\sigma^2$处。标准化后，$\mu$被抵消，因此$p$与$\mu$无关。
   结论：选项A、C错误。

2. $\sigma$的影响：

   • $\sigma$增大时，$\mu + \sigma^2$向右移动，且分布更分散。
   • 标准化后，$Z = \sigma$，而标准正态分布函数$\Phi(\sigma)$随$\sigma$单调递增。
     结论：$\sigma$越大，$p = \Phi(\sigma)$越大，选项B正确，D错误。