24.设测量的误差 sim N(7.5,100) (单位:m).问要进行多少次独立测量,才能使至少有一-|||-次误差的绝对值不超过10m的概率大于0.9?

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及独立重复试验中至少成功一次的概率问题。
解题思路：

1. 确定单次成功概率：计算单次测量误差绝对值不超过10m的概率$p$，需将正态分布标准化后查表求解。
2. 逆事件转换：将“至少一次成功”的概率转化为“全部不成功”的补集，建立不等式$1 - (1-p)^n > 0.9$。
3. 解不等式求最小整数$n$：通过取对数求解不等式，确定最小测量次数。

关键点：

• 标准化处理：将非标准正态分布转化为标准正态分布求概率。
• 逆事件应用：利用补集简化“至少一次”的概率计算。
• 对数运算：通过取对数解指数不等式，注意不等式方向的变化。

步骤1：计算单次测量的成功概率$p$
误差$X \sim N(7.5, 10^2)$，求$P(|X| \leq 10)$：
标准化得$Z = \frac{X - 7.5}{10} \sim N(0,1)$，则：
$\begin{aligned}P(-10 \leq X \leq 10) &= P\left(\frac{-10 - 7.5}{10} \leq Z \leq \frac{10 - 7.5}{10}\right) \\&= P(-1.75 \leq Z \leq 0.25) \\&= \Phi(0.25) - \Phi(-1.75) \\&= 0.5987 - 0.0401 = 0.5586.\end{aligned}$

步骤2：建立概率不等式
设测量$n$次，要求至少一次成功概率大于0.9：
$1 - (1 - p)^n > 0.9 \implies (1 - p)^n < 0.1.$

步骤3：解不等式求$n$
代入$p = 0.5586$，得：
$(0.4414)^n < 0.1.$
取自然对数：
$n \cdot \ln(0.4414) < \ln(0.1) \implies n > \frac{\ln(0.1)}{\ln(0.4414)} \approx \frac{-2.3026}{-0.8165} \approx 2.82.$
因此，最小整数$n = 3$。